Lutasin ang 40x^2-14x+1=0

$$40 { x }^{ 2 } -14x+1=0$$

I-solve ang x

$$x=\frac{1}{10}=0.1$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 40x^{2}+ax+bx+1. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-14 ab=40\times 1=40$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -14.

$$a=-10 b=-4$$

I-rewrite ang 40x^{2}-14x+1 bilang \left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right).

$$\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)$$

I-factor out ang 10x sa unang grupo at ang -1 sa pangalawang grupo.

$$10x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

I-factor out ang common term na 4x-1 gamit ang distributive property.

$$\left(4x-1\right)\left(10x-1\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 4x-1=0 at 10x-1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 40 para sa a, -14 para sa b, at 1 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2\times 40}$$

I-square ang -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2\times 40}$$

I-multiply ang -4 times 40.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2\times 40}$$

Idagdag ang 196 sa -160.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2\times 40}$$

Kunin ang square root ng 36.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2\times 40}$$

Ang kabaliktaran ng -14 ay 14.

$$x=\frac{14±6}{2\times 40}$$

I-multiply ang 2 times 40.

$$x=\frac{14±6}{80}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{14±6}{80} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 14 sa 6.

$$x=\frac{20}{80}$$

Bawasan ang fraction \frac{20}{80} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 20.

$$x=\frac{1}{4}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{14±6}{80} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 6 mula sa 14.

$$x=\frac{8}{80}$$

Bawasan ang fraction \frac{8}{80} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 8.

$$x=\frac{1}{10}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$40x^{2}-14x+1-1=-1$$

Kapag na-subtract ang 1 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$40x^{2}-14x=-1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 40.

$$\frac{40x^{2}-14x}{40}=-\frac{1}{40}$$

Kapag na-divide gamit ang 40, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 40.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{40}\right)x=-\frac{1}{40}$$

Bawasan ang fraction \frac{-14}{40} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x=-\frac{1}{40}$$

I-divide ang -\frac{7}{20}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{7}{40}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{7}{40} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{40}+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{7}{40} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=-\frac{1}{40}+\frac{49}{1600}$$

Idagdag ang -\frac{1}{40} sa \frac{49}{1600} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=\frac{9}{1600}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}=\frac{9}{1600}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{1600}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{7}{40}=\frac{3}{40} x-\frac{7}{40}=-\frac{3}{40}$$

Idagdag ang \frac{7}{40} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$