Lutasin ang 4y^2-9y+2=0

$$4 y ^ { 2 } - 9 y + 2 = 0$$

I-solve ang y

$$y=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y=2$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 4y^{2}+ay+by+2. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-9 ab=4\times 2=8$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -9.

$$a=-8 b=-1$$

I-rewrite ang 4y^{2}-9y+2 bilang \left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right).

$$\left(4y^{2}-8y\right)+\left(-y+2\right)$$

I-factor out ang 4y sa unang grupo at ang -1 sa pangalawang grupo.

$$4y\left(y-2\right)-\left(y-2\right)$$

I-factor out ang common term na y-2 gamit ang distributive property.

$$\left(y-2\right)\left(4y-1\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang y-2=0 at 4y-1=0.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 4 para sa a, -9 para sa b, at 2 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

I-square ang -9.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\times 2}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -4 times 4.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\times 2}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -16 times 2.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 4}$$

Idagdag ang 81 sa -32.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Kunin ang square root ng 49.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 4}$$

Ang kabaliktaran ng -9 ay 9.

$$y=\frac{9±7}{2\times 4}$$

I-multiply ang 2 times 4.

$$y=\frac{9±7}{8}$$

Ngayon, lutasin ang equation na y=\frac{9±7}{8} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 9 sa 7.

$$y=\frac{16}{8}$$

I-divide ang 16 gamit ang 8.

$$y=2$$

Ngayon, lutasin ang equation na y=\frac{9±7}{8} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 7 mula sa 9.

$$y=\frac{2}{8}$$

Bawasan ang fraction \frac{2}{8} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$y=\frac{1}{4}$$

Nalutas na ang equation.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-9y+2=0$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4y^{2}-9y+2-2=-2$$

Kapag na-subtract ang 2 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$4y^{2}-9y=-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$\frac{4y^{2}-9y}{4}=-\frac{2}{4}$$

Kapag na-divide gamit ang 4, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 4.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{2}{4}$$

Bawasan ang fraction \frac{-2}{4} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y=-\frac{1}{2}$$

I-divide ang -\frac{9}{4}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{9}{8}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{9}{8} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{9}{8} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=-\frac{1}{2}+\frac{81}{64}$$

Idagdag ang -\frac{1}{2} sa \frac{81}{64} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}=\frac{49}{64}$$

I-factor ang y^{2}-\frac{9}{4}y+\frac{81}{64}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Pasimplehin.

$$y-\frac{9}{8}=\frac{7}{8} y-\frac{9}{8}=-\frac{7}{8}$$

Idagdag ang \frac{9}{8} sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=2 y=\frac{1}{4}$$