Lutasin ang 4x^2-9x-9=0

$$4 x ^ { 2 } - 9 x - 9 = 0$$

I-solve ang x

$$x=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$x=3$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 4x^{2}+ax+bx-9. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-9 ab=4\left(-9\right)=-36$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -9.

$$a=-12 b=3$$

I-rewrite ang 4x^{2}-9x-9 bilang \left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right)$$

I-factor out ang 4x sa unang grupo at ang 3 sa pangalawang grupo.

$$4x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

I-factor out ang common term na x-3 gamit ang distributive property.

$$\left(x-3\right)\left(4x+3\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-3=0 at 4x+3=0.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 4 para sa a, -9 para sa b, at -9 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

I-square ang -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -4 times 4.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -16 times -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+144}}{2\times 4}$$

Idagdag ang 81 sa 144.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Kunin ang square root ng 225.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±15}{2\times 4}$$

Ang kabaliktaran ng -9 ay 9.

$$x=\frac{9±15}{2\times 4}$$

I-multiply ang 2 times 4.

$$x=\frac{9±15}{8}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{9±15}{8} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 9 sa 15.

$$x=\frac{24}{8}$$

I-divide ang 24 gamit ang 8.

$$x=3$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{9±15}{8} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 15 mula sa 9.

$$x=-\frac{6}{8}$$

Bawasan ang fraction \frac{-6}{8} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

Idagdag ang 9 sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x^{2}-9x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Kapag na-subtract ang -9 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$4x^{2}-9x=-\left(-9\right)$$

I-subtract ang -9 mula sa 0.

$$4x^{2}-9x=9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$\frac{4x^{2}-9x}{4}=\frac{9}{4}$$

Kapag na-divide gamit ang 4, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 4.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x=\frac{9}{4}$$

I-divide ang -\frac{9}{4}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{9}{8}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{9}{8} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{9}{8} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{9}{4}+\frac{81}{64}$$

Idagdag ang \frac{9}{4} sa \frac{81}{64} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{225}{64}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{9}{8}=\frac{15}{8} x-\frac{9}{8}=-\frac{15}{8}$$

Idagdag ang \frac{9}{8} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$