Lutasin ang 4x^2-7x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x - 1 = 0$$

I-solve ang x

$$x = \frac{\sqrt{65} + 7}{8} \approx 1.882782219$$

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}\approx -0.132782219$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 4 para sa a, -7 para sa b, at -1 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

I-square ang -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -4 times 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -16 times -1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+16}}{2\times 4}$$

Idagdag ang 49 sa 16.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Ang kabaliktaran ng -7 ay 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

I-multiply ang 2 times 4.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{8}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{7±\sqrt{65}}{8} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 7 sa \sqrt{65}.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{7±\sqrt{65}}{8} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang \sqrt{65} mula sa 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

Idagdag ang 1 sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x^{2}-7x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kapag na-subtract ang -1 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$4x^{2}-7x=-\left(-1\right)$$

I-subtract ang -1 mula sa 0.

$$4x^{2}-7x=1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=\frac{1}{4}$$

Kapag na-divide gamit ang 4, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 4.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{1}{4}$$

I-divide ang -\frac{7}{4}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{7}{8}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{7}{8} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{7}{8} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

Idagdag ang \frac{1}{4} sa \frac{49}{64} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{65}{64}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{65}{64}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{64}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{65}}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{65}}{8}$$

Idagdag ang \frac{7}{8} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$