Lutasin ang 4x^2-7x+3=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x + 3 = 0$$

I-solve ang x

$$x=1$$

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 4x^{2}+ax+bx+3. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-7 ab=4\times 3=12$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -7.

$$a=-4 b=-3$$

I-rewrite ang 4x^{2}-7x+3 bilang \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right)$$

I-factor out ang 4x sa unang grupo at ang -3 sa pangalawang grupo.

$$4x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)$$

I-factor out ang common term na x-1 gamit ang distributive property.

$$\left(x-1\right)\left(4x-3\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-1=0 at 4x-3=0.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 4 para sa a, -7 para sa b, at 3 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

I-square ang -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -4 times 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\times 3}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -16 times 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 4}$$

Idagdag ang 49 sa -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 4}$$

Kunin ang square root ng 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 4}$$

Ang kabaliktaran ng -7 ay 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 4}$$

I-multiply ang 2 times 4.

$$x=\frac{7±1}{8}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{7±1}{8} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 7 sa 1.

$$x=\frac{8}{8}$$

I-divide ang 8 gamit ang 8.

$$x=1$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{7±1}{8} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 1 mula sa 7.

$$x=\frac{6}{8}$$

Bawasan ang fraction \frac{6}{8} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x=\frac{3}{4}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x^{2}-7x+3-3=-3$$

Kapag na-subtract ang 3 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$4x^{2}-7x=-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=-\frac{3}{4}$$

Kapag na-divide gamit ang 4, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 4.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=-\frac{3}{4}$$

I-divide ang -\frac{7}{4}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{7}{8}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{7}{8} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{7}{8} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{3}{4}+\frac{49}{64}$$

Idagdag ang -\frac{3}{4} sa \frac{49}{64} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{64}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{64}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{64}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{1}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{1}{8}$$

Idagdag ang \frac{7}{8} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$