Lutasin ang 4x^2-12x-27=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

I-solve ang x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 4x^{2}+ax+bx-27. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -12.

$$a=-18 b=6$$

I-rewrite ang 4x^{2}-12x-27 bilang \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right).

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

I-factor out ang 2x sa unang grupo at ang 3 sa pangalawang grupo.

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

I-factor out ang common term na 2x-9 gamit ang distributive property.

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 2x-9=0 at 2x+3=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 4 para sa a, -12 para sa b, at -27 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

I-square ang -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -4 times 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -16 times -27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

Idagdag ang 144 sa 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Kunin ang square root ng 576.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

Ang kabaliktaran ng -12 ay 12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

I-multiply ang 2 times 4.

$$x=\frac{12±24}{8}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{12±24}{8} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 12 sa 24.

$$x=\frac{36}{8}$$

Bawasan ang fraction \frac{36}{8} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$x=\frac{9}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{12±24}{8} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 24 mula sa 12.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Bawasan ang fraction \frac{-12}{8} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Idagdag ang 27 sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Kapag na-subtract ang -27 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

I-subtract ang -27 mula sa 0.

$$4x^{2}-12x=27$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

Kapag na-divide gamit ang 4, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

I-divide ang -12 gamit ang 4.

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

I-divide ang -3, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{3}{2}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{3}{2} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{3}{2} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

Idagdag ang \frac{27}{4} sa \frac{9}{4} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

I-factor ang x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

Idagdag ang \frac{3}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$