Lutasin ang 4x^2-12x+9=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x + 9 = 0$$

I-solve ang x

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 4x^{2}+ax+bx+9. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-12 ab=4\times 9=36$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -12.

$$a=-6 b=-6$$

I-rewrite ang 4x^{2}-12x+9 bilang \left(4x^{2}-6x\right)+\left(-6x+9\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(-6x+9\right)$$

I-factor out ang 2x sa unang grupo at ang -3 sa pangalawang grupo.

$$2x\left(2x-3\right)-3\left(2x-3\right)$$

I-factor out ang common term na 2x-3 gamit ang distributive property.

$$\left(2x-3\right)\left(2x-3\right)$$

Isulat ulit bilang binomial square.

$$\left(2x-3\right)^{2}$$

Para mahanap ang solution sa equation, i-solve ang 2x-3=0.

$$x=\frac{3}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$4x^{2}-12x+9=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 4 para sa a, -12 para sa b, at 9 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

I-square ang -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -4 times 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\times 9}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -16 times 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 4}$$

Idagdag ang 144 sa -144.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Kunin ang square root ng 0.

$$x=-\frac{-12}{2\times 4}$$

Ang kabaliktaran ng -12 ay 12.

$$x=\frac{12}{2\times 4}$$

I-multiply ang 2 times 4.

$$x=\frac{12}{8}$$

Bawasan ang fraction \frac{12}{8} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x+9=0$$

I-subtract ang 9 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x^{2}-12x+9-9=-9$$

Kapag na-subtract ang 9 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$4x^{2}-12x=-9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Kapag na-divide gamit ang 4, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=-\frac{9}{4}$$

I-divide ang -12 gamit ang 4.

$$x^{2}-3x=-\frac{9}{4}$$

I-divide ang -3, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{3}{2}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{3}{2} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{3}{2} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}$$

Idagdag ang -\frac{9}{4} sa \frac{9}{4} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=0$$

I-factor ang x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=0$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{3}{2}=0 x-\frac{3}{2}=0$$

Idagdag ang \frac{3}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{3}{2}$$

Nalutas na ang equation. Mga solution ay pareho.

$$x=\frac{3}{2}$$