Lutasin ang 4x^2+48x-81=0

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

I-solve ang x

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13.5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 4x^{2}+ax+bx-81. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -324.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 48.

$$a=-6 b=54$$

I-rewrite ang 4x^{2}+48x-81 bilang \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

I-factor out ang 2x sa unang grupo at ang 27 sa pangalawang grupo.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

I-factor out ang common term na 2x-3 gamit ang distributive property.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 2x-3=0 at 2x+27=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 4 para sa a, 48 para sa b, at -81 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

I-square ang 48.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -4 times 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -16 times -81.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

Idagdag ang 2304 sa 1296.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

Kunin ang square root ng 3600.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

I-multiply ang 2 times 4.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-48±60}{8} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -48 sa 60.

$$x=\frac{12}{8}$$

Bawasan ang fraction \frac{12}{8} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-48±60}{8} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 60 mula sa -48.

$$x=-\frac{108}{8}$$

Bawasan ang fraction \frac{-108}{8} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$x=-\frac{27}{2}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Idagdag ang 81 sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

Kapag na-subtract ang -81 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

I-subtract ang -81 mula sa 0.

$$4x^{2}+48x=81$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

Kapag na-divide gamit ang 4, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

I-divide ang 48 gamit ang 4.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

I-divide ang 12, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang 6. Pagkatapos ay idagdag ang square ng 6 sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

I-square ang 6.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

Idagdag ang \frac{81}{4} sa 36.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

I-factor ang x^{2}+12x+36. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay isang perfect square, palaging maaari itong i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Pasimplehin.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$