Lutasin ang 4x^2+11x-20=0

$$4 x ^ { 2 } + 11 x - 20 = 0$$

I-solve ang x

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 4x^{2}+ax+bx-20. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=11 ab=4\left(-20\right)=-80$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -80.

$$-1,80 -2,40 -4,20 -5,16 -8,10$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+80=79 -2+40=38 -4+20=16 -5+16=11 -8+10=2$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 11.

$$a=-5 b=16$$

I-rewrite ang 4x^{2}+11x-20 bilang \left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right)$$

I-factor out ang x sa unang grupo at ang 4 sa pangalawang grupo.

$$x\left(4x-5\right)+4\left(4x-5\right)$$

I-factor out ang common term na 4x-5 gamit ang distributive property.

$$\left(4x-5\right)\left(x+4\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 4x-5=0 at x+4=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 4 para sa a, 11 para sa b, at -20 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

I-square ang 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -4 times 4.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -16 times -20.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+320}}{2\times 4}$$

Idagdag ang 121 sa 320.

$$x=\frac{-11±\sqrt{441}}{2\times 4}$$

Kunin ang square root ng 441.

$$x=\frac{-11±21}{2\times 4}$$

I-multiply ang 2 times 4.

$$x=\frac{-11±21}{8}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-11±21}{8} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -11 sa 21.

$$x=\frac{10}{8}$$

Bawasan ang fraction \frac{10}{8} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-11±21}{8} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 21 mula sa -11.

$$x=-\frac{32}{8}$$

I-divide ang -32 gamit ang 8.

$$x=-4$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

Idagdag ang 20 sa magkabilang dulo ng equation.

$$4x^{2}+11x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Kapag na-subtract ang -20 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$4x^{2}+11x=-\left(-20\right)$$

I-subtract ang -20 mula sa 0.

$$4x^{2}+11x=20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$\frac{4x^{2}+11x}{4}=\frac{20}{4}$$

Kapag na-divide gamit ang 4, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 4.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=\frac{20}{4}$$

I-divide ang 20 gamit ang 4.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=5$$

I-divide ang \frac{11}{4}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{11}{8}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{11}{8} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}=5+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{11}{8} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=5+\frac{121}{64}$$

Idagdag ang 5 sa \frac{121}{64}.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{441}{64}$$

I-factor ang x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{441}{64}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{64}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{11}{8}=\frac{21}{8} x+\frac{11}{8}=-\frac{21}{8}$$

I-subtract ang \frac{11}{8} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$