Lutasin ang 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

I-solve ang n

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

I-subtract ang 11 mula sa magkabilang dulo.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 4n^{2}+an+bn-11. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -7.

$$a=-11 b=4$$

I-rewrite ang 4n^{2}-7n-11 bilang \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right).

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

Ï-factor out ang n sa 4n^{2}-11n.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

I-factor out ang common term na 4n-11 gamit ang distributive property.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 4n-11=0 at n+1=0.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$4n^{2}-7n=11$$

I-subtract ang 11 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

Kapag na-subtract ang 11 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 4 para sa a, -7 para sa b, at -11 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

I-square ang -7.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -4 times 4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -16 times -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

Idagdag ang 49 sa 176.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Kunin ang square root ng 225.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

Ang kabaliktaran ng -7 ay 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

I-multiply ang 2 times 4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Ngayon, lutasin ang equation na n=\frac{7±15}{8} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 7 sa 15.

$$n=\frac{22}{8}$$

Bawasan ang fraction \frac{22}{8} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$n=\frac{11}{4}$$

Ngayon, lutasin ang equation na n=\frac{7±15}{8} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 15 mula sa 7.

$$n=-\frac{8}{8}$$

I-divide ang -8 gamit ang 8.

$$n=-1$$

Nalutas na ang equation.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-7n=11$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

Kapag na-divide gamit ang 4, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 4.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

I-divide ang -\frac{7}{4}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{7}{8}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{7}{8} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{7}{8} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Idagdag ang \frac{11}{4} sa \frac{49}{64} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

I-factor ang n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay isang perfect square, palaging maaari itong i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Pasimplehin.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Idagdag ang \frac{7}{8} sa magkabilang dulo ng equation.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$