Lutasin ang 4k^2+7k+3=0

$$4 k ^ { 2 } + 7 k + 3 = 0$$

I-solve ang k

$$k=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$k=-1$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 4k^{2}+ak+bk+3. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=7 ab=4\times 3=12$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, parehong positive ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 12.

$$1,12 2,6 3,4$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 7.

$$a=3 b=4$$

I-rewrite ang 4k^{2}+7k+3 bilang \left(4k^{2}+3k\right)+\left(4k+3\right).

$$\left(4k^{2}+3k\right)+\left(4k+3\right)$$

Ï-factor out ang k sa 4k^{2}+3k.

$$k\left(4k+3\right)+4k+3$$

I-factor out ang common term na 4k+3 gamit ang distributive property.

$$\left(4k+3\right)\left(k+1\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 4k+3=0 at k+1=0.

$$k=-\frac{3}{4} k=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$4k^{2}+7k+3=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 4 para sa a, 7 para sa b, at 3 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

I-square ang 7.

$$k=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -4 times 4.

$$k=\frac{-7±\sqrt{49-16\times 3}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -16 times 3.

$$k=\frac{-7±\sqrt{49-48}}{2\times 4}$$

Idagdag ang 49 sa -48.

$$k=\frac{-7±\sqrt{1}}{2\times 4}$$

Kunin ang square root ng 1.

$$k=\frac{-7±1}{2\times 4}$$

I-multiply ang 2 times 4.

$$k=\frac{-7±1}{8}$$

Ngayon, lutasin ang equation na k=\frac{-7±1}{8} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -7 sa 1.

$$k=-\frac{6}{8}$$

Bawasan ang fraction \frac{-6}{8} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$k=-\frac{3}{4}$$

Ngayon, lutasin ang equation na k=\frac{-7±1}{8} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 1 mula sa -7.

$$k=-\frac{8}{8}$$

I-divide ang -8 gamit ang 8.

$$k=-1$$

Nalutas na ang equation.

$$k=-\frac{3}{4} k=-1$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$4k^{2}+7k+3=0$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4k^{2}+7k+3-3=-3$$

Kapag na-subtract ang 3 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$4k^{2}+7k=-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$\frac{4k^{2}+7k}{4}=-\frac{3}{4}$$

Kapag na-divide gamit ang 4, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 4.

$$k^{2}+\frac{7}{4}k=-\frac{3}{4}$$

I-divide ang \frac{7}{4}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{7}{8}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{7}{8} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$k^{2}+\frac{7}{4}k+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{4}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{7}{8} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$k^{2}+\frac{7}{4}k+\frac{49}{64}=-\frac{3}{4}+\frac{49}{64}$$

Idagdag ang -\frac{3}{4} sa \frac{49}{64} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$k^{2}+\frac{7}{4}k+\frac{49}{64}=\frac{1}{64}$$

I-factor ang k^{2}+\frac{7}{4}k+\frac{49}{64}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{64}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(k+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{64}}$$

Pasimplehin.

$$k+\frac{7}{8}=\frac{1}{8} k+\frac{7}{8}=-\frac{1}{8}$$

I-subtract ang \frac{7}{8} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$k=-\frac{3}{4} k=-1$$