Lutasin ang 4d^2+36d+81

$$4 d ^ { 2 } + 36 d + 81$$

I-factor

$$\left(2d+9\right)^{2}$$

Mga Hakbang ng Solution

I-factor ang expression ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang expression bilang 4d^{2}+ad+bd+81. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=36 ab=4\times 81=324$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, parehong positive ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 324.

$$1,324 2,162 3,108 4,81 6,54 9,36 12,27 18,18$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1+324=325 2+162=164 3+108=111 4+81=85 6+54=60 9+36=45 12+27=39 18+18=36$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 36.

$$a=18 b=18$$

I-rewrite ang 4d^{2}+36d+81 bilang \left(4d^{2}+18d\right)+\left(18d+81\right).

$$\left(4d^{2}+18d\right)+\left(18d+81\right)$$

I-factor out ang 2d sa unang grupo at ang 9 sa pangalawang grupo.

$$2d\left(2d+9\right)+9\left(2d+9\right)$$

I-factor out ang common term na 2d+9 gamit ang distributive property.

$$\left(2d+9\right)\left(2d+9\right)$$

Isulat ulit bilang binomial square.

$$\left(2d+9\right)^{2}$$

Mga Hakbang Gamit ang Square Of Binomial

Ang trinomial na ito ay may anyo ng isang trinomial square, malamang ay na-multiply ito ng isang common factor. Maaaring i-factor ang mga trinomial square sa pamamagitan ng paghahanap ng mga square root ng mga nangunguna at nahuhuling term.

$$factor(4d^{2}+36d+81)$$

Hanapin ang greatest common factor ng mga coefficient.

$$gcf(4,36,81)=1$$

Hanapin ang square root ng leading term na 4d^{2}.

$$\sqrt{4d^{2}}=2d$$

Hanapin ang square root ng trailing term na 81.

$$\sqrt{81}=9$$

Ang trinomial square ay ang square ng binomial na sum o difference ng mga square root ng nangunguna at nahuhuling term, gamit ang sign na natukoy ng sign ng gitnang term ng trinomial square.

$$\left(2d+9\right)^{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Maaaring i-factor ang quadratic polynomial gamit ang transformation na ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kung saan ang x_{1} at x_{2} ay ang mga solution ng quadratic equation na ax^{2}+bx+c=0.

$$4d^{2}+36d+81=0$$

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$d=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 4\times 81}}{2\times 4}$$

I-square ang 36.

$$d=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 4\times 81}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -4 times 4.

$$d=\frac{-36±\sqrt{1296-16\times 81}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -16 times 81.

$$d=\frac{-36±\sqrt{1296-1296}}{2\times 4}$$

Idagdag ang 1296 sa -1296.

$$d=\frac{-36±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Kunin ang square root ng 0.

$$d=\frac{-36±0}{2\times 4}$$

I-multiply ang 2 times 4.

$$d=\frac{-36±0}{8}$$

I-factor ang orihinal na expression gamit ang ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). I-substitute ang -\frac{9}{2} sa x_{1} at ang -\frac{9}{2} sa x_{2}.

$$4d^{2}+36d+81=4\left(d-\left(-\frac{9}{2}\right)\right)\left(d-\left(-\frac{9}{2}\right)\right)$$

Pasimplehin ang lahat ng expression ng form na p-\left(-q\right) at gawing p+q.

$$4d^{2}+36d+81=4\left(d+\frac{9}{2}\right)\left(d+\frac{9}{2}\right)$$

Idagdag ang \frac{9}{2} sa d sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$4d^{2}+36d+81=4\times \frac{2d+9}{2}\left(d+\frac{9}{2}\right)$$

Idagdag ang \frac{9}{2} sa d sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$4d^{2}+36d+81=4\times \frac{2d+9}{2}\times \frac{2d+9}{2}$$

I-multiply ang \frac{2d+9}{2} times \frac{2d+9}{2} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$4d^{2}+36d+81=4\times \frac{\left(2d+9\right)\left(2d+9\right)}{2\times 2}$$

I-multiply ang 2 times 2.

$$4d^{2}+36d+81=4\times \frac{\left(2d+9\right)\left(2d+9\right)}{4}$$

Kanselahin ang greatest common factor na 4 sa 4 at 4.

$$4d^{2}+36d+81=\left(2d+9\right)\left(2d+9\right)$$

I-evaluate

$$\left(2d+9\right)^{2}$$