Lutasin ang 4t^2+3t=1

$$4 { t }^{ 2 } +3t = 1$$

I-solve ang t

$$t=-1$$

$$t=\frac{1}{4}=0.25$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo.

$$4t^{2}+3t-1=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 4t^{2}+at+bt-1. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=3 ab=4\left(-1\right)=-4$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -4.

$$-1,4 -2,2$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 3.

$$a=-1 b=4$$

I-rewrite ang 4t^{2}+3t-1 bilang \left(4t^{2}-t\right)+\left(4t-1\right).

$$\left(4t^{2}-t\right)+\left(4t-1\right)$$

Ï-factor out ang t sa 4t^{2}-t.

$$t\left(4t-1\right)+4t-1$$

I-factor out ang common term na 4t-1 gamit ang distributive property.

$$\left(4t-1\right)\left(t+1\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 4t-1=0 at t+1=0.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$4t^{2}+3t=1$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4t^{2}+3t-1=1-1$$

Kapag na-subtract ang 1 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$4t^{2}+3t-1=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 4 para sa a, 3 para sa b, at -1 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

I-square ang 3.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -4 times 4.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -16 times -1.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\times 4}$$

Idagdag ang 9 sa 16.

$$t=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\times 4}$$

Kunin ang square root ng 25.

$$t=\frac{-3±5}{2\times 4}$$

I-multiply ang 2 times 4.

$$t=\frac{-3±5}{8}$$

Ngayon, lutasin ang equation na t=\frac{-3±5}{8} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -3 sa 5.

$$t=\frac{2}{8}$$

Bawasan ang fraction \frac{2}{8} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$t=\frac{1}{4}$$

Ngayon, lutasin ang equation na t=\frac{-3±5}{8} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 5 mula sa -3.

$$t=-\frac{8}{8}$$

I-divide ang -8 gamit ang 8.

$$t=-1$$

Nalutas na ang equation.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$4t^{2}+3t=1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$\frac{4t^{2}+3t}{4}=\frac{1}{4}$$

Kapag na-divide gamit ang 4, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 4.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t=\frac{1}{4}$$

I-divide ang \frac{3}{4}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{3}{8}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{3}{8} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{3}{8} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

Idagdag ang \frac{1}{4} sa \frac{9}{64} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

I-factor ang t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay isang perfect square, palaging maaari itong i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(t+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Pasimplehin.

$$t+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} t+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

I-subtract ang \frac{3}{8} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$