Lutasin ang 4a^2-5a+1=0

$$4 { a }^{ 2 } -5a+1 = 0$$

I-solve ang a

$$a=\frac{1}{4}=0.25$$

$$a=1$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 4a^{2}+aa+ba+1. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -5.

$$a=-4 b=-1$$

I-rewrite ang 4a^{2}-5a+1 bilang \left(4a^{2}-4a\right)+\left(-a+1\right).

$$\left(4a^{2}-4a\right)+\left(-a+1\right)$$

I-factor out ang 4a sa unang grupo at ang -1 sa pangalawang grupo.

$$4a\left(a-1\right)-\left(a-1\right)$$

I-factor out ang common term na a-1 gamit ang distributive property.

$$\left(a-1\right)\left(4a-1\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang a-1=0 at 4a-1=0.

$$a=1 a=\frac{1}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$4a^{2}-5a+1=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 4 para sa a, -5 para sa b, at 1 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

I-square ang -5.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

I-multiply ang -4 times 4.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

Idagdag ang 25 sa -16.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

Kunin ang square root ng 9.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

Ang kabaliktaran ng -5 ay 5.

$$a=\frac{5±3}{2\times 4}$$

I-multiply ang 2 times 4.

$$a=\frac{5±3}{8}$$

Ngayon, lutasin ang equation na a=\frac{5±3}{8} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 5 sa 3.

$$a=\frac{8}{8}$$

I-divide ang 8 gamit ang 8.

$$a=1$$

Ngayon, lutasin ang equation na a=\frac{5±3}{8} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 3 mula sa 5.

$$a=\frac{2}{8}$$

Bawasan ang fraction \frac{2}{8} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$a=\frac{1}{4}$$

Nalutas na ang equation.

$$a=1 a=\frac{1}{4}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$4a^{2}-5a+1=0$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$4a^{2}-5a+1-1=-1$$

Kapag na-subtract ang 1 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$4a^{2}-5a=-1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 4.

$$\frac{4a^{2}-5a}{4}=-\frac{1}{4}$$

Kapag na-divide gamit ang 4, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 4.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a=-\frac{1}{4}$$

I-divide ang -\frac{5}{4}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{5}{8}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{5}{8} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{5}{8} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Idagdag ang -\frac{1}{4} sa \frac{25}{64} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

I-factor ang a^{2}-\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Pasimplehin.

$$a-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} a-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

Idagdag ang \frac{5}{8} sa magkabilang dulo ng equation.

$$a=1 a=\frac{1}{4}$$