Lutasin ang 3y^2-11y+10=0

$$3 y ^ { 2 } - 11 y + 10 = 0$$

I-solve ang y

$$y=2$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 3y^{2}+ay+by+10. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-11 ab=3\times 10=30$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -11.

$$a=-6 b=-5$$

I-rewrite ang 3y^{2}-11y+10 bilang \left(3y^{2}-6y\right)+\left(-5y+10\right).

$$\left(3y^{2}-6y\right)+\left(-5y+10\right)$$

I-factor out ang 3y sa unang grupo at ang -5 sa pangalawang grupo.

$$3y\left(y-2\right)-5\left(y-2\right)$$

I-factor out ang common term na y-2 gamit ang distributive property.

$$\left(y-2\right)\left(3y-5\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang y-2=0 at 3y-5=0.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$3y^{2}-11y+10=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 3 para sa a, -11 para sa b, at 10 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

I-square ang -11.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -4 times 3.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-12\times 10}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -12 times 10.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-120}}{2\times 3}$$

Idagdag ang 121 sa -120.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Kunin ang square root ng 1.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±1}{2\times 3}$$

Ang kabaliktaran ng -11 ay 11.

$$y=\frac{11±1}{2\times 3}$$

I-multiply ang 2 times 3.

$$y=\frac{11±1}{6}$$

Ngayon, lutasin ang equation na y=\frac{11±1}{6} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 11 sa 1.

$$y=\frac{12}{6}$$

I-divide ang 12 gamit ang 6.

$$y=2$$

Ngayon, lutasin ang equation na y=\frac{11±1}{6} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 1 mula sa 11.

$$y=\frac{10}{6}$$

Bawasan ang fraction \frac{10}{6} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$y=\frac{5}{3}$$

Nalutas na ang equation.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$3y^{2}-11y+10=0$$

I-subtract ang 10 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3y^{2}-11y+10-10=-10$$

Kapag na-subtract ang 10 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$3y^{2}-11y=-10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$\frac{3y^{2}-11y}{3}=-\frac{10}{3}$$

Kapag na-divide gamit ang 3, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{10}{3}$$

I-divide ang -\frac{11}{3}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{11}{6}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{11}{6} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{11}{6} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{121}{36}$$

Idagdag ang -\frac{10}{3} sa \frac{121}{36} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{1}{36}$$

I-factor ang y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Pasimplehin.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{1}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{1}{6}$$

Idagdag ang \frac{11}{6} sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$