Lutasin ang 3x-15=2x(x-5)

$$3 x - 15 = 2 x ( x - 5 )$$

I-solve ang x

$$x=5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2x gamit ang x-5.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

I-subtract ang 2x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Idagdag ang 10x sa parehong bahagi.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Pagsamahin ang 3x at 10x para makuha ang 13x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Isaayos ang polynomial para gawin itong standard form. Pagsunud-sunurin ang mga term mula sa pinakamalaki hanggang pinakamaliit na power.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang -2x^{2}+ax+bx-15. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=13 ab=-2\left(-15\right)=30$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, parehong positive ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 13.

$$a=10 b=3$$

I-rewrite ang -2x^{2}+13x-15 bilang \left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right)$$

I-factor out ang 2x sa unang grupo at ang -3 sa pangalawang grupo.

$$2x\left(-x+5\right)-3\left(-x+5\right)$$

I-factor out ang common term na -x+5 gamit ang distributive property.

$$\left(-x+5\right)\left(2x-3\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang -x+5=0 at 2x-3=0.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2x gamit ang x-5.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

I-subtract ang 2x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Idagdag ang 10x sa parehong bahagi.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Pagsamahin ang 3x at 10x para makuha ang 13x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang -2 para sa a, 13 para sa b, at -15 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-2\right)\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

I-square ang 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-2\right)\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

I-multiply ang -4 times -2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+8\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

I-multiply ang 8 times -15.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\left(-2\right)}$$

Idagdag ang 169 sa -120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\left(-2\right)}$$

Kunin ang square root ng 49.

$$x=\frac{-13±7}{2\left(-2\right)}$$

I-multiply ang 2 times -2.

$$x=\frac{-13±7}{-4}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-13±7}{-4} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -13 sa 7.

$$x=-\frac{6}{-4}$$

Bawasan ang fraction \frac{-6}{-4} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-13±7}{-4} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 7 mula sa -13.

$$x=-\frac{20}{-4}$$

I-divide ang -20 gamit ang -4.

$$x=5$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{3}{2} x=5$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2x gamit ang x-5.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

I-subtract ang 2x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Idagdag ang 10x sa parehong bahagi.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Pagsamahin ang 3x at 10x para makuha ang 13x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Idagdag ang 15 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$13x-2x^{2}=15$$

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+13x=15$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$\frac{-2x^{2}+13x}{-2}=\frac{15}{-2}$$

Kapag na-divide gamit ang -2, ma-a-undo ang multiplication gamit ang -2.

$$x^{2}+\frac{13}{-2}x=\frac{15}{-2}$$

I-divide ang 13 gamit ang -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=\frac{15}{-2}$$

I-divide ang 15 gamit ang -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{15}{2}$$

I-divide ang -\frac{13}{2}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{13}{4}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{13}{4} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{2}+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{13}{4} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=-\frac{15}{2}+\frac{169}{16}$$

Idagdag ang -\frac{15}{2} sa \frac{169}{16} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{49}{16}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{7}{4}$$

Idagdag ang \frac{13}{4} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$