Lutasin ang 3x(x+1)-(x-2)^2/2=(x+1)(x-1)+15

$$3 x ( x + 1 ) - \frac { ( x - 2 ) ^ { 2 } } { 2 } = ( x + 1 ) ( x - 1 ) + 15$$

I-solve ang x

$$x = -\frac{16}{3} = -5\frac{1}{3} \approx -5.333333333$$

$$x=2$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$6x\left(x+1\right)-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 6x gamit ang x+1.

$$6x^{2}+6x-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Gamitin ang binomial theorem na \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para palawakin ang \left(x-2\right)^{2}.

$$6x^{2}+6x-\left(x^{2}-4x+4\right)=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Para hanapin ang kabaligtaran ng x^{2}-4x+4, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$6x^{2}+6x-x^{2}+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Pagsamahin ang 6x^{2} at -x^{2} para makuha ang 5x^{2}.

$$5x^{2}+6x+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Pagsamahin ang 6x at 4x para makuha ang 10x.

$$5x^{2}+10x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x+1.

$$5x^{2}+10x-4=\left(2x+2\right)\left(x-1\right)+30$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2x+2 sa x-1 at para pagsamahin ang magkakatulad na term.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}-2+30$$

Idagdag ang -2 at 30 para makuha ang 28.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}+28$$

I-subtract ang 2x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$5x^{2}+10x-4-2x^{2}=28$$

Pagsamahin ang 5x^{2} at -2x^{2} para makuha ang 3x^{2}.

$$3x^{2}+10x-4=28$$

I-subtract ang 28 mula sa magkabilang dulo.

$$3x^{2}+10x-4-28=0$$

I-subtract ang 28 mula sa -4 para makuha ang -32.

$$3x^{2}+10x-32=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 3x^{2}+ax+bx-32. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=10 ab=3\left(-32\right)=-96$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -96.

$$-1,96 -2,48 -3,32 -4,24 -6,16 -8,12$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+96=95 -2+48=46 -3+32=29 -4+24=20 -6+16=10 -8+12=4$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 10.

$$a=-6 b=16$$

I-rewrite ang 3x^{2}+10x-32 bilang \left(3x^{2}-6x\right)+\left(16x-32\right).

$$\left(3x^{2}-6x\right)+\left(16x-32\right)$$

I-factor out ang 3x sa unang grupo at ang 16 sa pangalawang grupo.

$$3x\left(x-2\right)+16\left(x-2\right)$$

I-factor out ang common term na x-2 gamit ang distributive property.

$$\left(x-2\right)\left(3x+16\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-2=0 at 3x+16=0.

$$x=2 x=-\frac{16}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$6x\left(x+1\right)-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 6x gamit ang x+1.

$$6x^{2}+6x-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Gamitin ang binomial theorem na \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para palawakin ang \left(x-2\right)^{2}.

$$6x^{2}+6x-\left(x^{2}-4x+4\right)=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Para hanapin ang kabaligtaran ng x^{2}-4x+4, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$6x^{2}+6x-x^{2}+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Pagsamahin ang 6x^{2} at -x^{2} para makuha ang 5x^{2}.

$$5x^{2}+6x+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Pagsamahin ang 6x at 4x para makuha ang 10x.

$$5x^{2}+10x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x+1.

$$5x^{2}+10x-4=\left(2x+2\right)\left(x-1\right)+30$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2x+2 sa x-1 at para pagsamahin ang magkakatulad na term.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}-2+30$$

Idagdag ang -2 at 30 para makuha ang 28.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}+28$$

I-subtract ang 2x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$5x^{2}+10x-4-2x^{2}=28$$

Pagsamahin ang 5x^{2} at -2x^{2} para makuha ang 3x^{2}.

$$3x^{2}+10x-4=28$$

I-subtract ang 28 mula sa magkabilang dulo.

$$3x^{2}+10x-4-28=0$$

I-subtract ang 28 mula sa -4 para makuha ang -32.

$$3x^{2}+10x-32=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 3 para sa a, 10 para sa b, at -32 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

I-square ang 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -4 times 3.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-32\right)}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -12 times -32.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+384}}{2\times 3}$$

Idagdag ang 100 sa 384.

$$x=\frac{-10±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

Kunin ang square root ng 484.

$$x=\frac{-10±22}{2\times 3}$$

I-multiply ang 2 times 3.

$$x=\frac{-10±22}{6}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-10±22}{6} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -10 sa 22.

$$x=\frac{12}{6}$$

I-divide ang 12 gamit ang 6.

$$x=2$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-10±22}{6} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 22 mula sa -10.

$$x=-\frac{32}{6}$$

Bawasan ang fraction \frac{-32}{6} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x=-\frac{16}{3}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=2 x=-\frac{16}{3}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

I-multiply ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$6x\left(x+1\right)-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 6x gamit ang x+1.

$$6x^{2}+6x-\left(x-2\right)^{2}=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Gamitin ang binomial theorem na \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para palawakin ang \left(x-2\right)^{2}.

$$6x^{2}+6x-\left(x^{2}-4x+4\right)=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Para hanapin ang kabaligtaran ng x^{2}-4x+4, hanapin ang kabaligtaran ng bawat term.

$$6x^{2}+6x-x^{2}+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Pagsamahin ang 6x^{2} at -x^{2} para makuha ang 5x^{2}.

$$5x^{2}+6x+4x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Pagsamahin ang 6x at 4x para makuha ang 10x.

$$5x^{2}+10x-4=2\left(x+1\right)\left(x-1\right)+30$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2 gamit ang x+1.

$$5x^{2}+10x-4=\left(2x+2\right)\left(x-1\right)+30$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 2x+2 sa x-1 at para pagsamahin ang magkakatulad na term.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}-2+30$$

Idagdag ang -2 at 30 para makuha ang 28.

$$5x^{2}+10x-4=2x^{2}+28$$

I-subtract ang 2x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$5x^{2}+10x-4-2x^{2}=28$$

Pagsamahin ang 5x^{2} at -2x^{2} para makuha ang 3x^{2}.

$$3x^{2}+10x-4=28$$

Idagdag ang 4 sa parehong bahagi.

$$3x^{2}+10x=28+4$$

Idagdag ang 28 at 4 para makuha ang 32.

$$3x^{2}+10x=32$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$\frac{3x^{2}+10x}{3}=\frac{32}{3}$$

Kapag na-divide gamit ang 3, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 3.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=\frac{32}{3}$$

I-divide ang \frac{10}{3}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{5}{3}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{5}{3} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{32}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{5}{3} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{32}{3}+\frac{25}{9}$$

Idagdag ang \frac{32}{3} sa \frac{25}{9} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{121}{9}$$

I-factor ang x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{5}{3}=\frac{11}{3} x+\frac{5}{3}=-\frac{11}{3}$$

I-subtract ang \frac{5}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=2 x=-\frac{16}{3}$$