Lutasin ang 3x^2-32x+84=0

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

I-solve ang x

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4.666666667$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 3x^{2}+ax+bx+84. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 252.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -32.

$$a=-18 b=-14$$

I-rewrite ang 3x^{2}-32x+84 bilang \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

I-factor out ang 3x sa unang grupo at ang -14 sa pangalawang grupo.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

I-factor out ang common term na x-6 gamit ang distributive property.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-6=0 at 3x-14=0.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 3 para sa a, -32 para sa b, at 84 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

I-square ang -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -4 times 3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -12 times 84.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

Idagdag ang 1024 sa -1008.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Kunin ang square root ng 16.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

Ang kabaliktaran ng -32 ay 32.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

I-multiply ang 2 times 3.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{32±4}{6} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 32 sa 4.

$$x=\frac{36}{6}$$

I-divide ang 36 gamit ang 6.

$$x=6$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{32±4}{6} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 4 mula sa 32.

$$x=\frac{28}{6}$$

Bawasan ang fraction \frac{28}{6} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x=\frac{14}{3}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

I-subtract ang 84 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

Kapag na-subtract ang 84 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$3x^{2}-32x=-84$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

Kapag na-divide gamit ang 3, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

I-divide ang -84 gamit ang 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

I-divide ang -\frac{32}{3}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{16}{3}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{16}{3} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{16}{3} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

Idagdag ang -28 sa \frac{256}{9}.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

Idagdag ang \frac{16}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$