Lutasin ang 3x^2-2x-1=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

I-solve ang x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=1$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 3x^{2}+ax+bx-1. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-2 ab=3\left(-1\right)=-3$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ang ganoon lang na pair ay ang system solution.

$$a=-3 b=1$$

I-rewrite ang 3x^{2}-2x-1 bilang \left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right)$$

Ï-factor out ang 3x sa 3x^{2}-3x.

$$3x\left(x-1\right)+x-1$$

I-factor out ang common term na x-1 gamit ang distributive property.

$$\left(x-1\right)\left(3x+1\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-1=0 at 3x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 3 para sa a, -2 para sa b, at -1 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

I-square ang -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -4 times 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -12 times -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12}}{2\times 3}$$

Idagdag ang 4 sa 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Kunin ang square root ng 16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4}{2\times 3}$$

Ang kabaliktaran ng -2 ay 2.

$$x=\frac{2±4}{2\times 3}$$

I-multiply ang 2 times 3.

$$x=\frac{2±4}{6}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{2±4}{6} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 2 sa 4.

$$x=\frac{6}{6}$$

I-divide ang 6 gamit ang 6.

$$x=1$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{2±4}{6} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 4 mula sa 2.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Bawasan ang fraction \frac{-2}{6} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

Idagdag ang 1 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kapag na-subtract ang -1 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

I-subtract ang -1 mula sa 0.

$$3x^{2}-2x=1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{1}{3}$$

Kapag na-divide gamit ang 3, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

I-divide ang -\frac{2}{3}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{1}{3}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{1}{3} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{1}{3} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Idagdag ang \frac{1}{3} sa \frac{1}{9} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

Idagdag ang \frac{1}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$