Lutasin ang 3x^2+8x-11=0

$$3 x ^ { 2 } + 8 x - 11 = 0$$

I-solve ang x

$$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

$$x=1$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 3x^{2}+ax+bx-11. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=8 ab=3\left(-11\right)=-33$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -33.

$$-1,33 -3,11$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+33=32 -3+11=8$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 8.

$$a=-3 b=11$$

I-rewrite ang 3x^{2}+8x-11 bilang \left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right)$$

I-factor out ang 3x sa unang grupo at ang 11 sa pangalawang grupo.

$$3x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

I-factor out ang common term na x-1 gamit ang distributive property.

$$\left(x-1\right)\left(3x+11\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-1=0 at 3x+11=0.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 3 para sa a, 8 para sa b, at -11 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

I-square ang 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -4 times 3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -12 times -11.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+132}}{2\times 3}$$

Idagdag ang 64 sa 132.

$$x=\frac{-8±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Kunin ang square root ng 196.

$$x=\frac{-8±14}{2\times 3}$$

I-multiply ang 2 times 3.

$$x=\frac{-8±14}{6}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-8±14}{6} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -8 sa 14.

$$x=\frac{6}{6}$$

I-divide ang 6 gamit ang 6.

$$x=1$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-8±14}{6} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 14 mula sa -8.

$$x=-\frac{22}{6}$$

Bawasan ang fraction \frac{-22}{6} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

Idagdag ang 11 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x^{2}+8x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Kapag na-subtract ang -11 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$3x^{2}+8x=-\left(-11\right)$$

I-subtract ang -11 mula sa 0.

$$3x^{2}+8x=11$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=\frac{11}{3}$$

Kapag na-divide gamit ang 3, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{11}{3}$$

I-divide ang \frac{8}{3}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{4}{3}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{4}{3} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{11}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{4}{3} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{11}{3}+\frac{16}{9}$$

Idagdag ang \frac{11}{3} sa \frac{16}{9} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{9}$$

I-factor ang x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{3}$$

I-subtract ang \frac{4}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$