Lutasin ang 3x^2+16x-35=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 35 = 0$$

I-solve ang x

$$x=-7$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 3x^{2}+ax+bx-35. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=16 ab=3\left(-35\right)=-105$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -105.

$$-1,105 -3,35 -5,21 -7,15$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+105=104 -3+35=32 -5+21=16 -7+15=8$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 16.

$$a=-5 b=21$$

I-rewrite ang 3x^{2}+16x-35 bilang \left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right).

$$\left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right)$$

I-factor out ang x sa unang grupo at ang 7 sa pangalawang grupo.

$$x\left(3x-5\right)+7\left(3x-5\right)$$

I-factor out ang common term na 3x-5 gamit ang distributive property.

$$\left(3x-5\right)\left(x+7\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 3x-5=0 at x+7=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 3 para sa a, 16 para sa b, at -35 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

I-square ang 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -4 times 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -12 times -35.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+420}}{2\times 3}$$

Idagdag ang 256 sa 420.

$$x=\frac{-16±\sqrt{676}}{2\times 3}$$

Kunin ang square root ng 676.

$$x=\frac{-16±26}{2\times 3}$$

I-multiply ang 2 times 3.

$$x=\frac{-16±26}{6}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-16±26}{6} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -16 sa 26.

$$x=\frac{10}{6}$$

Bawasan ang fraction \frac{10}{6} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x=\frac{5}{3}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-16±26}{6} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 26 mula sa -16.

$$x=-\frac{42}{6}$$

I-divide ang -42 gamit ang 6.

$$x=-7$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Idagdag ang 35 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x^{2}+16x-35-\left(-35\right)=-\left(-35\right)$$

Kapag na-subtract ang -35 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$3x^{2}+16x=-\left(-35\right)$$

I-subtract ang -35 mula sa 0.

$$3x^{2}+16x=35$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{35}{3}$$

Kapag na-divide gamit ang 3, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{35}{3}$$

I-divide ang \frac{16}{3}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{8}{3}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{8}{3} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{35}{3}+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{8}{3} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{35}{3}+\frac{64}{9}$$

Idagdag ang \frac{35}{3} sa \frac{64}{9} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{169}{9}$$

I-factor ang x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{13}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{13}{3}$$

I-subtract ang \frac{8}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$