Lutasin ang 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

I-solve ang x, y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 6y mula sa magkabilang dulo.

$$3x+9-6y=0$$

I-subtract ang 9 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$3x-6y=-9$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 12 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$-2x-2y=12$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x-6y=-9$$

Idagdag ang 6y sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=6y-9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times 6y-9.

$$x=2y-3$$

I-substitute ang 2y-3 para sa x sa kabilang equation na -2x-2y=12.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

I-multiply ang -2 times 2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

Idagdag ang -4y sa -2y.

$$-6y+6=12$$

I-subtract ang 6 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-6y=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -6.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa x=2y-3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

I-multiply ang 2 times -1.

$$x=-2-3$$

Idagdag ang -3 sa -2.

$$x=-5$$

Nalutas na ang system.

$$x=-5,y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 6y mula sa magkabilang dulo.

$$3x+9-6y=0$$

I-subtract ang 9 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$3x-6y=-9$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 12 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$-2x-2y=12$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=-5,y=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang 6y mula sa magkabilang dulo.

$$3x+9-6y=0$$

I-subtract ang 9 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$3x-6y=-9$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang 12 sa parehong bahagi. Ang kahit anong idadagdag sa zero ay ganoon pa rin.

$$-2x-2y=12$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Para gawing magkatumbas ang 3x at -2x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang -2 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 3.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Pasimplehin.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

I-subtract ang -6x-6y=36 mula sa -6x+12y=18 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Idagdag ang -6x sa 6x. Naka-cancel out ang term na -6x at 6x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$12y+6y=18-36$$

Idagdag ang 12y sa 6y.

$$18y=18-36$$

Idagdag ang 18 sa -36.

$$18y=-18$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 18.

$$y=-1$$

I-substitute ang -1 para sa y sa -2x-2y=12. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

I-multiply ang -2 times -1.

$$-2x+2=12$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-2x=10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x=-5$$

Nalutas na ang system.

$$x=-5,y=-1$$