Lutasin ang 3x+10y=102,3x+7y=84

$$3 x + 10 y = 102,3 x + 7 y = 84$$

I-solve ang x, y

$$x=14$$

$$y=6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$3x+10y=102,3x+7y=84$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$3x+10y=102$$

I-subtract ang 10y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=-10y+102$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+102\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{3} times -10y+102.

$$x=-\frac{10}{3}y+34$$

I-substitute ang -\frac{10y}{3}+34 para sa x sa kabilang equation na 3x+7y=84.

$$3\left(-\frac{10}{3}y+34\right)+7y=84$$

I-multiply ang 3 times -\frac{10y}{3}+34.

$$-10y+102+7y=84$$

Idagdag ang -10y sa 7y.

$$-3y+102=84$$

I-subtract ang 102 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3y=-18$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$y=6$$

I-substitute ang 6 para sa y sa x=-\frac{10}{3}y+34. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{10}{3}\times 6+34$$

I-multiply ang -\frac{10}{3} times 6.

$$x=-20+34$$

Idagdag ang 34 sa -20.

$$x=14$$

Nalutas na ang system.

$$x=14,y=6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$3x+10y=102,3x+7y=84$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-10\times 3}&-\frac{10}{3\times 7-10\times 3}\\-\frac{3}{3\times 7-10\times 3}&\frac{3}{3\times 7-10\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{9}&\frac{10}{9}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{9}\times 102+\frac{10}{9}\times 84\\\frac{1}{3}\times 102-\frac{1}{3}\times 84\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=14,y=6$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$3x+10y=102,3x+7y=84$$

I-subtract ang 3x+7y=84 mula sa 3x+10y=102 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$3x-3x+10y-7y=102-84$$

Idagdag ang 3x sa -3x. Naka-cancel out ang term na 3x at -3x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$10y-7y=102-84$$

Idagdag ang 10y sa -7y.

$$3y=102-84$$

Idagdag ang 102 sa -84.

$$3y=18$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$y=6$$

I-substitute ang 6 para sa y sa 3x+7y=84. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$3x+7\times 6=84$$

I-multiply ang 7 times 6.

$$3x+42=84$$

I-subtract ang 42 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x=42$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=14$$

Nalutas na ang system.

$$x=14,y=6$$