Lutasin ang 3q^2-19q+16=0

$$3 q ^ { 2 } - 19 q + 16 = 0$$

I-solve ang q

$$q=1$$

$$q = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5.333333333$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 3q^{2}+aq+bq+16. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-19 ab=3\times 16=48$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -19.

$$a=-16 b=-3$$

I-rewrite ang 3q^{2}-19q+16 bilang \left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right).

$$\left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right)$$

I-factor out ang q sa unang grupo at ang -1 sa pangalawang grupo.

$$q\left(3q-16\right)-\left(3q-16\right)$$

I-factor out ang common term na 3q-16 gamit ang distributive property.

$$\left(3q-16\right)\left(q-1\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 3q-16=0 at q-1=0.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 3 para sa a, -19 para sa b, at 16 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

I-square ang -19.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -4 times 3.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-12\times 16}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -12 times 16.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-192}}{2\times 3}$$

Idagdag ang 361 sa -192.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Kunin ang square root ng 169.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±13}{2\times 3}$$

Ang kabaliktaran ng -19 ay 19.

$$q=\frac{19±13}{2\times 3}$$

I-multiply ang 2 times 3.

$$q=\frac{19±13}{6}$$

Ngayon, lutasin ang equation na q=\frac{19±13}{6} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 19 sa 13.

$$q=\frac{32}{6}$$

Bawasan ang fraction \frac{32}{6} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$q=\frac{16}{3}$$

Ngayon, lutasin ang equation na q=\frac{19±13}{6} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 13 mula sa 19.

$$q=\frac{6}{6}$$

I-divide ang 6 gamit ang 6.

$$q=1$$

Nalutas na ang equation.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

I-subtract ang 16 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3q^{2}-19q+16-16=-16$$

Kapag na-subtract ang 16 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$3q^{2}-19q=-16$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$\frac{3q^{2}-19q}{3}=-\frac{16}{3}$$

Kapag na-divide gamit ang 3, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 3.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q=-\frac{16}{3}$$

I-divide ang -\frac{19}{3}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{19}{6}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{19}{6} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{19}{6} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=-\frac{16}{3}+\frac{361}{36}$$

Idagdag ang -\frac{16}{3} sa \frac{361}{36} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=\frac{169}{36}$$

I-factor ang q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay isang perfect square, palaging maaari itong i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Pasimplehin.

$$q-\frac{19}{6}=\frac{13}{6} q-\frac{19}{6}=-\frac{13}{6}$$

Idagdag ang \frac{19}{6} sa magkabilang dulo ng equation.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$