Lutasin ang 3p^2-8p+5=0

$$3 p ^ { 2 } - 8 p + 5 = 0$$

I-solve ang p

$$p=1$$

$$p = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 3p^{2}+ap+bp+5. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-8 ab=3\times 5=15$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -8.

$$a=-5 b=-3$$

I-rewrite ang 3p^{2}-8p+5 bilang \left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right).

$$\left(3p^{2}-5p\right)+\left(-3p+5\right)$$

I-factor out ang p sa unang grupo at ang -1 sa pangalawang grupo.

$$p\left(3p-5\right)-\left(3p-5\right)$$

I-factor out ang common term na 3p-5 gamit ang distributive property.

$$\left(3p-5\right)\left(p-1\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 3p-5=0 at p-1=0.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 3 para sa a, -8 para sa b, at 5 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

I-square ang -8.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -4 times 3.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\times 5}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -12 times 5.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60}}{2\times 3}$$

Idagdag ang 64 sa -60.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Kunin ang square root ng 4.

$$p=\frac{-\left(-8\right)±2}{2\times 3}$$

Ang kabaliktaran ng -8 ay 8.

$$p=\frac{8±2}{2\times 3}$$

I-multiply ang 2 times 3.

$$p=\frac{8±2}{6}$$

Ngayon, lutasin ang equation na p=\frac{8±2}{6} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 8 sa 2.

$$p=\frac{10}{6}$$

Bawasan ang fraction \frac{10}{6} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$p=\frac{5}{3}$$

Ngayon, lutasin ang equation na p=\frac{8±2}{6} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 2 mula sa 8.

$$p=\frac{6}{6}$$

I-divide ang 6 gamit ang 6.

$$p=1$$

Nalutas na ang equation.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$3p^{2}-8p+5=0$$

I-subtract ang 5 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3p^{2}-8p+5-5=-5$$

Kapag na-subtract ang 5 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$3p^{2}-8p=-5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$\frac{3p^{2}-8p}{3}=-\frac{5}{3}$$

Kapag na-divide gamit ang 3, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 3.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p=-\frac{5}{3}$$

I-divide ang -\frac{8}{3}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{4}{3}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{4}{3} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{4}{3} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=-\frac{5}{3}+\frac{16}{9}$$

Idagdag ang -\frac{5}{3} sa \frac{16}{9} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}=\frac{1}{9}$$

I-factor ang p^{2}-\frac{8}{3}p+\frac{16}{9}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(p-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Pasimplehin.

$$p-\frac{4}{3}=\frac{1}{3} p-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}$$

Idagdag ang \frac{4}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$p=\frac{5}{3} p=1$$