Lutasin ang 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

I-solve ang n

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$n=3$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 3n^{2}+an+bn-15. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -45.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -4.

$$a=-9 b=5$$

I-rewrite ang 3n^{2}-4n-15 bilang \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right).

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

I-factor out ang 3n sa unang grupo at ang 5 sa pangalawang grupo.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

I-factor out ang common term na n-3 gamit ang distributive property.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang n-3=0 at 3n+5=0.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 3 para sa a, -4 para sa b, at -15 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

I-square ang -4.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -4 times 3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -12 times -15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

Idagdag ang 16 sa 180.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Kunin ang square root ng 196.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

Ang kabaliktaran ng -4 ay 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

I-multiply ang 2 times 3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

Ngayon, lutasin ang equation na n=\frac{4±14}{6} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 4 sa 14.

$$n=\frac{18}{6}$$

I-divide ang 18 gamit ang 6.

$$n=3$$

Ngayon, lutasin ang equation na n=\frac{4±14}{6} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 14 mula sa 4.

$$n=-\frac{10}{6}$$

Bawasan ang fraction \frac{-10}{6} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$n=-\frac{5}{3}$$

Nalutas na ang equation.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Idagdag ang 15 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Kapag na-subtract ang -15 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

I-subtract ang -15 mula sa 0.

$$3n^{2}-4n=15$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

Kapag na-divide gamit ang 3, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

I-divide ang 15 gamit ang 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

I-divide ang -\frac{4}{3}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{2}{3}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{2}{3} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{2}{3} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Idagdag ang 5 sa \frac{4}{9}.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

I-factor ang n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Pasimplehin.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Idagdag ang \frac{2}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$