Lutasin ang 3n^2+10n=8

$$3 n ^ { 2 } + 10 n = 8$$

I-solve ang n

$$n=-4$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

I-subtract ang 8 mula sa magkabilang dulo.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 3n^{2}+an+bn-8. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 10.

$$a=-2 b=12$$

I-rewrite ang 3n^{2}+10n-8 bilang \left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right).

$$\left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right)$$

I-factor out ang n sa unang grupo at ang 4 sa pangalawang grupo.

$$n\left(3n-2\right)+4\left(3n-2\right)$$

I-factor out ang common term na 3n-2 gamit ang distributive property.

$$\left(3n-2\right)\left(n+4\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 3n-2=0 at n+4=0.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$3n^{2}+10n=8$$

I-subtract ang 8 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3n^{2}+10n-8=8-8$$

Kapag na-subtract ang 8 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 3 para sa a, 10 para sa b, at -8 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

I-square ang 10.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -4 times 3.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -12 times -8.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Idagdag ang 100 sa 96.

$$n=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Kunin ang square root ng 196.

$$n=\frac{-10±14}{2\times 3}$$

I-multiply ang 2 times 3.

$$n=\frac{-10±14}{6}$$

Ngayon, lutasin ang equation na n=\frac{-10±14}{6} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -10 sa 14.

$$n=\frac{4}{6}$$

Bawasan ang fraction \frac{4}{6} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$n=\frac{2}{3}$$

Ngayon, lutasin ang equation na n=\frac{-10±14}{6} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 14 mula sa -10.

$$n=-\frac{24}{6}$$

I-divide ang -24 gamit ang 6.

$$n=-4$$

Nalutas na ang equation.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+10n=8$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$\frac{3n^{2}+10n}{3}=\frac{8}{3}$$

Kapag na-divide gamit ang 3, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 3.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n=\frac{8}{3}$$

I-divide ang \frac{10}{3}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{5}{3}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{5}{3} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{5}{3} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Idagdag ang \frac{8}{3} sa \frac{25}{9} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

I-factor ang n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Pasimplehin.

$$n+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} n+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

I-subtract ang \frac{5}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$