Lutasin ang 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

I-solve ang x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=12$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 3x^{2}+ax+bx-60. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -31.

$$a=-36 b=5$$

I-rewrite ang 3x^{2}-31x-60 bilang \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

I-factor out ang 3x sa unang grupo at ang 5 sa pangalawang grupo.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

I-factor out ang common term na x-12 gamit ang distributive property.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-12=0 at 3x+5=0.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 3 para sa a, -31 para sa b, at -60 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

I-square ang -31.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -4 times 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -12 times -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

Idagdag ang 961 sa 720.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Kunin ang square root ng 1681.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

Ang kabaliktaran ng -31 ay 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

I-multiply ang 2 times 3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{31±41}{6} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 31 sa 41.

$$x=\frac{72}{6}$$

I-divide ang 72 gamit ang 6.

$$x=12$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{31±41}{6} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 41 mula sa 31.

$$x=-\frac{10}{6}$$

Bawasan ang fraction \frac{-10}{6} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Idagdag ang 60 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Kapag na-subtract ang -60 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

I-subtract ang -60 mula sa 0.

$$3x^{2}-31x=60$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

Kapag na-divide gamit ang 3, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

I-divide ang 60 gamit ang 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

I-divide ang -\frac{31}{3}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{31}{6}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{31}{6} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{31}{6} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

Idagdag ang 20 sa \frac{961}{36}.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Idagdag ang \frac{31}{6} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$