Lutasin ang 3x^2-2x-9=0

$$3 { x }^{ 2 } -2x-9 = 0$$

I-solve ang x

$$x = \frac{2 \sqrt{7} + 1}{3} \approx 2.097167541$$

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}\approx -1.430500874$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 3 para sa a, -2 para sa b, at -9 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

I-square ang -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -4 times 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -12 times -9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+108}}{2\times 3}$$

Idagdag ang 4 sa 108.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{112}}{2\times 3}$$

Kunin ang square root ng 112.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Ang kabaliktaran ng -2 ay 2.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

I-multiply ang 2 times 3.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 2 sa 4\sqrt{7}.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+2}{6}$$

I-divide ang 2+4\sqrt{7} gamit ang 6.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 4\sqrt{7} mula sa 2.

$$x=\frac{2-4\sqrt{7}}{6}$$

I-divide ang 2-4\sqrt{7} gamit ang 6.

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

Idagdag ang 9 sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x^{2}-2x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Kapag na-subtract ang -9 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-9\right)$$

I-subtract ang -9 mula sa 0.

$$3x^{2}-2x=9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{9}{3}$$

Kapag na-divide gamit ang 3, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{9}{3}$$

I-divide ang 9 gamit ang 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=3$$

I-divide ang -\frac{2}{3}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{1}{3}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{1}{3} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{1}{3} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=3+\frac{1}{9}$$

Idagdag ang 3 sa \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{28}{9}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{28}{9}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{28}{9}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{7}}{3}$$

Idagdag ang \frac{1}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$