Lutasin ang 3x^2+5x=138

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

I-solve ang x

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7.666666667$$

$$x=6$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

I-subtract ang 138 mula sa magkabilang dulo.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 3x^{2}+ax+bx-138. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -414.

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 5.

$$a=-18 b=23$$

I-rewrite ang 3x^{2}+5x-138 bilang \left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

I-factor out ang 3x sa unang grupo at ang 23 sa pangalawang grupo.

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

I-factor out ang common term na x-6 gamit ang distributive property.

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-6=0 at 3x+23=0.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$3x^{2}+5x=138$$

I-subtract ang 138 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

Kapag na-subtract ang 138 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 3 para sa a, 5 para sa b, at -138 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

I-square ang 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -4 times 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

I-multiply ang -12 times -138.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

Idagdag ang 25 sa 1656.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Kunin ang square root ng 1681.

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

I-multiply ang 2 times 3.

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-5±41}{6} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -5 sa 41.

$$x=\frac{36}{6}$$

I-divide ang 36 gamit ang 6.

$$x=6$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-5±41}{6} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 41 mula sa -5.

$$x=-\frac{46}{6}$$

Bawasan ang fraction \frac{-46}{6} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x=-\frac{23}{3}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=138$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

Kapag na-divide gamit ang 3, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

I-divide ang 138 gamit ang 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

I-divide ang \frac{5}{3}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{5}{6}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{5}{6} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{5}{6} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

Idagdag ang 46 sa \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

I-factor ang x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay isang perfect square, palaging maaari itong i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

I-subtract ang \frac{5}{6} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$