Lutasin ang 25x^2-10x+1=0

$$25 x ^ { 2 } - 10 x + 1 = 0$$

I-solve ang x

$$x=\frac{1}{5}=0.2$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 25x^{2}+ax+bx+1. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-10 ab=25\times 1=25$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 25.

$$-1,-25 -5,-5$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-25=-26 -5-5=-10$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -10.

$$a=-5 b=-5$$

I-rewrite ang 25x^{2}-10x+1 bilang \left(25x^{2}-5x\right)+\left(-5x+1\right).

$$\left(25x^{2}-5x\right)+\left(-5x+1\right)$$

I-factor out ang 5x sa unang grupo at ang -1 sa pangalawang grupo.

$$5x\left(5x-1\right)-\left(5x-1\right)$$

I-factor out ang common term na 5x-1 gamit ang distributive property.

$$\left(5x-1\right)\left(5x-1\right)$$

Isulat ulit bilang binomial square.

$$\left(5x-1\right)^{2}$$

Para mahanap ang solution sa equation, i-solve ang 5x-1=0.

$$x=\frac{1}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$25x^{2}-10x+1=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 25 para sa a, -10 para sa b, at 1 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 25}}{2\times 25}$$

I-square ang -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 25}}{2\times 25}$$

I-multiply ang -4 times 25.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-100}}{2\times 25}$$

Idagdag ang 100 sa -100.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Kunin ang square root ng 0.

$$x=-\frac{-10}{2\times 25}$$

Ang kabaliktaran ng -10 ay 10.

$$x=\frac{10}{2\times 25}$$

I-multiply ang 2 times 25.

$$x=\frac{10}{50}$$

Bawasan ang fraction \frac{10}{50} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 10.

$$x=\frac{1}{5}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-10x+1=0$$

I-subtract ang 1 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$25x^{2}-10x+1-1=-1$$

Kapag na-subtract ang 1 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$25x^{2}-10x=-1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 25.

$$\frac{25x^{2}-10x}{25}=-\frac{1}{25}$$

Kapag na-divide gamit ang 25, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{25}\right)x=-\frac{1}{25}$$

Bawasan ang fraction \frac{-10}{25} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{1}{25}$$

I-divide ang -\frac{2}{5}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{1}{5}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{1}{5} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{25}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{1}{5} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{-1+1}{25}$$

Idagdag ang -\frac{1}{25} sa \frac{1}{25} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=0$$

I-factor ang x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=0$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{1}{5}=0 x-\frac{1}{5}=0$$

Idagdag ang \frac{1}{5} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{1}{5} x=\frac{1}{5}$$

Nalutas na ang equation. Mga solution ay pareho.

$$x=\frac{1}{5}$$