Lutasin ang 25x^2+30x+9=0

$$25 { x }^{ 2 } +30x+9=0$$

I-solve ang x

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 25x^{2}+ax+bx+9. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=30 ab=25\times 9=225$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, parehong positive ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 225.

$$1,225 3,75 5,45 9,25 15,15$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1+225=226 3+75=78 5+45=50 9+25=34 15+15=30$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 30.

$$a=15 b=15$$

I-rewrite ang 25x^{2}+30x+9 bilang \left(25x^{2}+15x\right)+\left(15x+9\right).

$$\left(25x^{2}+15x\right)+\left(15x+9\right)$$

I-factor out ang 5x sa unang grupo at ang 3 sa pangalawang grupo.

$$5x\left(5x+3\right)+3\left(5x+3\right)$$

I-factor out ang common term na 5x+3 gamit ang distributive property.

$$\left(5x+3\right)\left(5x+3\right)$$

Isulat ulit bilang binomial square.

$$\left(5x+3\right)^{2}$$

Para mahanap ang solution sa equation, i-solve ang 5x+3=0.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$25x^{2}+30x+9=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 25 para sa a, 30 para sa b, at 9 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

I-square ang 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

I-multiply ang -4 times 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-100\times 9}}{2\times 25}$$

I-multiply ang -100 times 9.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-900}}{2\times 25}$$

Idagdag ang 900 sa -900.

$$x=\frac{-30±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Kunin ang square root ng 0.

$$x=-\frac{30}{2\times 25}$$

I-multiply ang 2 times 25.

$$x=-\frac{30}{50}$$

Bawasan ang fraction \frac{-30}{50} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 10.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}+30x+9=0$$

I-subtract ang 9 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$25x^{2}+30x+9-9=-9$$

Kapag na-subtract ang 9 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$25x^{2}+30x=-9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 25.

$$\frac{25x^{2}+30x}{25}=-\frac{9}{25}$$

Kapag na-divide gamit ang 25, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 25.

$$x^{2}+\frac{30}{25}x=-\frac{9}{25}$$

Bawasan ang fraction \frac{30}{25} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{9}{25}$$

I-divide ang \frac{6}{5}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{3}{5}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{3}{5} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{9}{25}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{3}{5} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{-9+9}{25}$$

Idagdag ang -\frac{9}{25} sa \frac{9}{25} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=0$$

I-factor ang x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=0$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{3}{5}=0 x+\frac{3}{5}=0$$

I-subtract ang \frac{3}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{3}{5}$$

Nalutas na ang equation. Mga solution ay pareho.

$$x=-\frac{3}{5}$$