Lutasin ang 23x^2+11x+9=0

$$23 x ^ { 2 } + 11 x + 9 = 0$$

I-solve ang x (complex solution)

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}\approx -0.239130435+0.578031991i$$

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}\approx -0.239130435-0.578031991i$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$23x^{2}+11x+9=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 23 para sa a, 11 para sa b, at 9 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

I-square ang 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

I-multiply ang -4 times 23.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-92\times 9}}{2\times 23}$$

I-multiply ang -92 times 9.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-828}}{2\times 23}$$

Idagdag ang 121 sa -828.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-707}}{2\times 23}$$

Kunin ang square root ng -707.

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{2\times 23}$$

I-multiply ang 2 times 23.

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -11 sa i\sqrt{707}.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang i\sqrt{707} mula sa -11.

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$23x^{2}+11x+9=0$$

I-subtract ang 9 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$23x^{2}+11x+9-9=-9$$

Kapag na-subtract ang 9 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$23x^{2}+11x=-9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 23.

$$\frac{23x^{2}+11x}{23}=-\frac{9}{23}$$

Kapag na-divide gamit ang 23, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 23.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x=-\frac{9}{23}$$

I-divide ang \frac{11}{23}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{11}{46}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{11}{46} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{9}{23}+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{11}{46} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{9}{23}+\frac{121}{2116}$$

Idagdag ang -\frac{9}{23} sa \frac{121}{2116} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{707}{2116}$$

I-factor ang x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{707}{2116}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{707}{2116}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{11}{46}=\frac{\sqrt{707}i}{46} x+\frac{11}{46}=-\frac{\sqrt{707}i}{46}$$

I-subtract ang \frac{11}{46} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$