Lutasin ang 20x^2-28x-1=0

$$20 x ^ { 2 } - 28 x - 1 = 0$$

I-solve ang x

$$x = \frac{3 \sqrt{6} + 7}{10} \approx 1.434846923$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}\approx -0.034846923$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 20 para sa a, -28 para sa b, at -1 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

I-square ang -28.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

I-multiply ang -4 times 20.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

I-multiply ang -80 times -1.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+80}}{2\times 20}$$

Idagdag ang 784 sa 80.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{864}}{2\times 20}$$

Kunin ang square root ng 864.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Ang kabaliktaran ng -28 ay 28.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

I-multiply ang 2 times 20.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 28 sa 12\sqrt{6}.

$$x=\frac{12\sqrt{6}+28}{40}$$

I-divide ang 28+12\sqrt{6} gamit ang 40.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 12\sqrt{6} mula sa 28.

$$x=\frac{28-12\sqrt{6}}{40}$$

I-divide ang 28-12\sqrt{6} gamit ang 40.

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Idagdag ang 1 sa magkabilang dulo ng equation.

$$20x^{2}-28x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kapag na-subtract ang -1 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$20x^{2}-28x=-\left(-1\right)$$

I-subtract ang -1 mula sa 0.

$$20x^{2}-28x=1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 20.

$$\frac{20x^{2}-28x}{20}=\frac{1}{20}$$

Kapag na-divide gamit ang 20, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 20.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{20}\right)x=\frac{1}{20}$$

Bawasan ang fraction \frac{-28}{20} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{1}{20}$$

I-divide ang -\frac{7}{5}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{7}{10}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{7}{10} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{7}{10} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{1}{20}+\frac{49}{100}$$

Idagdag ang \frac{1}{20} sa \frac{49}{100} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{27}{50}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay isang perfect square, palaging maaari itong i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{27}{50}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{50}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{3\sqrt{6}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{3\sqrt{6}}{10}$$

Idagdag ang \frac{7}{10} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$