Lutasin ang 20x^2-x-1=0

$$20 { x }^{ 2 } -x-1=0$$

I-solve ang x

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 20x^{2}+ax+bx-1. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -1.

$$a=-5 b=4$$

I-rewrite ang 20x^{2}-x-1 bilang \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

Ï-factor out ang 5x sa 20x^{2}-5x.

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

I-factor out ang common term na 4x-1 gamit ang distributive property.

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 4x-1=0 at 5x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 20 para sa a, -1 para sa b, at -1 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

I-multiply ang -4 times 20.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

I-multiply ang -80 times -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

Idagdag ang 1 sa 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

Kunin ang square root ng 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

Ang kabaliktaran ng -1 ay 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

I-multiply ang 2 times 20.

$$x=\frac{1±9}{40}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{1±9}{40} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 1 sa 9.

$$x=\frac{10}{40}$$

Bawasan ang fraction \frac{10}{40} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 10.

$$x=\frac{1}{4}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{1±9}{40} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 9 mula sa 1.

$$x=-\frac{8}{40}$$

Bawasan ang fraction \frac{-8}{40} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 8.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Idagdag ang 1 sa magkabilang dulo ng equation.

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kapag na-subtract ang -1 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

I-subtract ang -1 mula sa 0.

$$20x^{2}-x=1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 20.

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

Kapag na-divide gamit ang 20, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 20.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

I-divide ang -\frac{1}{20}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{1}{40}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{1}{40} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{1}{40} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

Idagdag ang \frac{1}{20} sa \frac{1}{1600} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

Idagdag ang \frac{1}{40} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$