Lutasin ang 2x^2-9x-81=0

$$2 x ^ { 2 } - 9 x - 81 = 0$$

I-solve ang x

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

$$x=9$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 2x^{2}+ax+bx-81. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-9 ab=2\left(-81\right)=-162$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -162.

$$1,-162 2,-81 3,-54 6,-27 9,-18$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-162=-161 2-81=-79 3-54=-51 6-27=-21 9-18=-9$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -9.

$$a=-18 b=9$$

I-rewrite ang 2x^{2}-9x-81 bilang \left(2x^{2}-18x\right)+\left(9x-81\right).

$$\left(2x^{2}-18x\right)+\left(9x-81\right)$$

I-factor out ang 2x sa unang grupo at ang 9 sa pangalawang grupo.

$$2x\left(x-9\right)+9\left(x-9\right)$$

I-factor out ang common term na x-9 gamit ang distributive property.

$$\left(x-9\right)\left(2x+9\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-9=0 at 2x+9=0.

$$x=9 x=-\frac{9}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$2x^{2}-9x-81=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 2 para sa a, -9 para sa b, at -81 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\left(-81\right)}}{2\times 2}$$

I-square ang -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\left(-81\right)}}{2\times 2}$$

I-multiply ang -4 times 2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\left(-81\right)}}{2\times 2}$$

I-multiply ang -8 times -81.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+648}}{2\times 2}$$

Idagdag ang 81 sa 648.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

Kunin ang square root ng 729.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±27}{2\times 2}$$

Ang kabaliktaran ng -9 ay 9.

$$x=\frac{9±27}{2\times 2}$$

I-multiply ang 2 times 2.

$$x=\frac{9±27}{4}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{9±27}{4} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 9 sa 27.

$$x=\frac{36}{4}$$

I-divide ang 36 gamit ang 4.

$$x=9$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{9±27}{4} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 27 mula sa 9.

$$x=-\frac{18}{4}$$

Bawasan ang fraction \frac{-18}{4} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x=-\frac{9}{2}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=9 x=-\frac{9}{2}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-9x-81=0$$

Idagdag ang 81 sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x^{2}-9x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

Kapag na-subtract ang -81 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$2x^{2}-9x=-\left(-81\right)$$

I-subtract ang -81 mula sa 0.

$$2x^{2}-9x=81$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$\frac{2x^{2}-9x}{2}=\frac{81}{2}$$

Kapag na-divide gamit ang 2, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=\frac{81}{2}$$

I-divide ang -\frac{9}{2}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{9}{4}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{9}{4} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{81}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{9}{4} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{81}{2}+\frac{81}{16}$$

Idagdag ang \frac{81}{2} sa \frac{81}{16} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{729}{16}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{729}{16}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{16}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{27}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{27}{4}$$

Idagdag ang \frac{9}{4} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=9 x=-\frac{9}{2}$$