Lutasin ang 2x^2-9x+4=0

$$2 x ^ { 2 } - 9 x + 4 = 0$$

I-solve ang x

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x=4$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 2x^{2}+ax+bx+4. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-9 ab=2\times 4=8$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -9.

$$a=-8 b=-1$$

I-rewrite ang 2x^{2}-9x+4 bilang \left(2x^{2}-8x\right)+\left(-x+4\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(-x+4\right)$$

I-factor out ang 2x sa unang grupo at ang -1 sa pangalawang grupo.

$$2x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

I-factor out ang common term na x-4 gamit ang distributive property.

$$\left(x-4\right)\left(2x-1\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-4=0 at 2x-1=0.

$$x=4 x=\frac{1}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$2x^{2}-9x+4=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 2 para sa a, -9 para sa b, at 4 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

I-square ang -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

I-multiply ang -4 times 2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\times 4}}{2\times 2}$$

I-multiply ang -8 times 4.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 2}$$

Idagdag ang 81 sa -32.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

Kunin ang square root ng 49.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 2}$$

Ang kabaliktaran ng -9 ay 9.

$$x=\frac{9±7}{2\times 2}$$

I-multiply ang 2 times 2.

$$x=\frac{9±7}{4}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{9±7}{4} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 9 sa 7.

$$x=\frac{16}{4}$$

I-divide ang 16 gamit ang 4.

$$x=4$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{9±7}{4} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 7 mula sa 9.

$$x=\frac{2}{4}$$

Bawasan ang fraction \frac{2}{4} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=4 x=\frac{1}{2}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-9x+4=0$$

I-subtract ang 4 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x^{2}-9x+4-4=-4$$

Kapag na-subtract ang 4 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$2x^{2}-9x=-4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$\frac{2x^{2}-9x}{2}=-\frac{4}{2}$$

Kapag na-divide gamit ang 2, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{4}{2}$$

I-divide ang -4 gamit ang 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-2$$

I-divide ang -\frac{9}{2}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{9}{4}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{9}{4} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{9}{4} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-2+\frac{81}{16}$$

Idagdag ang -2 sa \frac{81}{16}.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{49}{16}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{7}{4}$$

Idagdag ang \frac{9}{4} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=4 x=\frac{1}{2}$$