Lutasin ang 2x^2-3x-54=0

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 54 = 0$$

I-solve ang x

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

$$x=6$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 2x^{2}+ax+bx-54. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-3 ab=2\left(-54\right)=-108$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -3.

$$a=-12 b=9$$

I-rewrite ang 2x^{2}-3x-54 bilang \left(2x^{2}-12x\right)+\left(9x-54\right).

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(9x-54\right)$$

I-factor out ang 2x sa unang grupo at ang 9 sa pangalawang grupo.

$$2x\left(x-6\right)+9\left(x-6\right)$$

I-factor out ang common term na x-6 gamit ang distributive property.

$$\left(x-6\right)\left(2x+9\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-6=0 at 2x+9=0.

$$x=6 x=-\frac{9}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$2x^{2}-3x-54=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 2 para sa a, -3 para sa b, at -54 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

I-square ang -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

I-multiply ang -4 times 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

I-multiply ang -8 times -54.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+432}}{2\times 2}$$

Idagdag ang 9 sa 432.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Kunin ang square root ng 441.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±21}{2\times 2}$$

Ang kabaliktaran ng -3 ay 3.

$$x=\frac{3±21}{2\times 2}$$

I-multiply ang 2 times 2.

$$x=\frac{3±21}{4}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{3±21}{4} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 3 sa 21.

$$x=\frac{24}{4}$$

I-divide ang 24 gamit ang 4.

$$x=6$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{3±21}{4} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 21 mula sa 3.

$$x=-\frac{18}{4}$$

Bawasan ang fraction \frac{-18}{4} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x=-\frac{9}{2}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=6 x=-\frac{9}{2}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-3x-54=0$$

Idagdag ang 54 sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x^{2}-3x-54-\left(-54\right)=-\left(-54\right)$$

Kapag na-subtract ang -54 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$2x^{2}-3x=-\left(-54\right)$$

I-subtract ang -54 mula sa 0.

$$2x^{2}-3x=54$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{54}{2}$$

Kapag na-divide gamit ang 2, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{54}{2}$$

I-divide ang 54 gamit ang 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=27$$

I-divide ang -\frac{3}{2}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{3}{4}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{3}{4} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=27+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{3}{4} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=27+\frac{9}{16}$$

Idagdag ang 27 sa \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{441}{16}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{21}{4}$$

Idagdag ang \frac{3}{4} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=6 x=-\frac{9}{2}$$