Lutasin ang 2x^2-2x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

I-solve ang x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1.366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0.366025404$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 2 para sa a, -2 para sa b, at -1 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

I-square ang -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

I-multiply ang -4 times 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

I-multiply ang -8 times -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Idagdag ang 4 sa 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Kunin ang square root ng 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Ang kabaliktaran ng -2 ay 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

I-multiply ang 2 times 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 2 sa 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

I-divide ang 2+2\sqrt{3} gamit ang 4.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 2\sqrt{3} mula sa 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

I-divide ang 2-2\sqrt{3} gamit ang 4.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Idagdag ang 1 sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kapag na-subtract ang -1 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$2x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

I-subtract ang -1 mula sa 0.

$$2x^{2}-2x=1$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

Kapag na-divide gamit ang 2, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

I-divide ang -2 gamit ang 2.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

I-divide ang -1, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{1}{2}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{1}{2} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{1}{2} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Idagdag ang \frac{1}{2} sa \frac{1}{4} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

I-factor ang x^{2}-x+\frac{1}{4}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Idagdag ang \frac{1}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$