Lutasin ang 2x^2+7x+5=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x + 5 = 0$$

I-solve ang x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=-1$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 2x^{2}+ax+bx+5. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=7 ab=2\times 5=10$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, parehong positive ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 10.

$$1,10 2,5$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1+10=11 2+5=7$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 7.

$$a=2 b=5$$

I-rewrite ang 2x^{2}+7x+5 bilang \left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right).

$$\left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right)$$

I-factor out ang 2x sa unang grupo at ang 5 sa pangalawang grupo.

$$2x\left(x+1\right)+5\left(x+1\right)$$

I-factor out ang common term na x+1 gamit ang distributive property.

$$\left(x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x+1=0 at 2x+5=0.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 2 para sa a, 7 para sa b, at 5 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

I-square ang 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

I-multiply ang -4 times 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\times 5}}{2\times 2}$$

I-multiply ang -8 times 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\times 2}$$

Idagdag ang 49 sa -40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Kunin ang square root ng 9.

$$x=\frac{-7±3}{2\times 2}$$

I-multiply ang 2 times 2.

$$x=\frac{-7±3}{4}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-7±3}{4} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -7 sa 3.

$$x=-\frac{4}{4}$$

I-divide ang -4 gamit ang 4.

$$x=-1$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-7±3}{4} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 3 mula sa -7.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Bawasan ang fraction \frac{-10}{4} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

I-subtract ang 5 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x^{2}+7x+5-5=-5$$

Kapag na-subtract ang 5 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$2x^{2}+7x=-5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=-\frac{5}{2}$$

Kapag na-divide gamit ang 2, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{5}{2}$$

I-divide ang \frac{7}{2}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{7}{4}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{7}{4} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{7}{4} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{49}{16}$$

Idagdag ang -\frac{5}{2} sa \frac{49}{16} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{16}$$

I-factor ang x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{3}{4}$$

I-subtract ang \frac{7}{4} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$