Lutasin ang 2x+3y=6quadtext{and}quad6x-5y=4

$$2 x + 3 y = 6 \quad \text { and } \quad 6 x - 5 y = 4$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$2x+3y=6$$

I-subtract ang 3y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=-3y+6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{2} times -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

I-substitute ang -\frac{3y}{2}+3 para sa x sa kabilang equation na 6x-5y=4.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+3\right)-5y=4$$

I-multiply ang 6 times -\frac{3y}{2}+3.

$$-9y+18-5y=4$$

Idagdag ang -9y sa -5y.

$$-14y+18=4$$

I-subtract ang 18 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-14y=-14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -14.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa x=-\frac{3}{2}y+3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{3}{2}+3$$

Idagdag ang 3 sa -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay ang \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring isulat ulit ang matrix equation bilang isang matrix multiplication problem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-5\right)-3\times 6}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}&\frac{3}{28}\\\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}\times 6+\frac{3}{28}\times 4\\\frac{3}{14}\times 6-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Para gawing magkatumbas ang 2x at 6x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 6 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 6,2\times 6x+2\left(-5\right)y=2\times 4$$

Pasimplehin.

$$12x+18y=36,12x-10y=8$$

I-subtract ang 12x-10y=8 mula sa 12x+18y=36 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$12x-12x+18y+10y=36-8$$

Idagdag ang 12x sa -12x. Naka-cancel out ang term na 12x at -12x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$18y+10y=36-8$$

Idagdag ang 18y sa 10y.

$$28y=36-8$$

Idagdag ang 36 sa -8.

$$28y=28$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 28.

$$y=1$$

I-substitute ang 1 para sa y sa 6x-5y=4. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$6x-5=4$$

Idagdag ang 5 sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x=9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$