Lutasin ang 2r^2-r-3=0

$$2 r ^ { 2 } - r - 3 = 0$$

I-solve ang r

$$r=-1$$

$$r = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 2r^{2}+ar+br-3. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-1 ab=2\left(-3\right)=-6$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -6.

$$1,-6 2,-3$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -1.

$$a=-3 b=2$$

I-rewrite ang 2r^{2}-r-3 bilang \left(2r^{2}-3r\right)+\left(2r-3\right).

$$\left(2r^{2}-3r\right)+\left(2r-3\right)$$

Ï-factor out ang r sa 2r^{2}-3r.

$$r\left(2r-3\right)+2r-3$$

I-factor out ang common term na 2r-3 gamit ang distributive property.

$$\left(2r-3\right)\left(r+1\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 2r-3=0 at r+1=0.

$$r=\frac{3}{2} r=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$2r^{2}-r-3=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 2 para sa a, -1 para sa b, at -3 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

I-multiply ang -4 times 2.

$$r=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

I-multiply ang -8 times -3.

$$r=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+24}}{2\times 2}$$

Idagdag ang 1 sa 24.

$$r=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Kunin ang square root ng 25.

$$r=\frac{-\left(-1\right)±5}{2\times 2}$$

Ang kabaliktaran ng -1 ay 1.

$$r=\frac{1±5}{2\times 2}$$

I-multiply ang 2 times 2.

$$r=\frac{1±5}{4}$$

Ngayon, lutasin ang equation na r=\frac{1±5}{4} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 1 sa 5.

$$r=\frac{6}{4}$$

Bawasan ang fraction \frac{6}{4} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$r=\frac{3}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na r=\frac{1±5}{4} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 5 mula sa 1.

$$r=-\frac{4}{4}$$

I-divide ang -4 gamit ang 4.

$$r=-1$$

Nalutas na ang equation.

$$r=\frac{3}{2} r=-1$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}-r-3=0$$

Idagdag ang 3 sa magkabilang dulo ng equation.

$$2r^{2}-r-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Kapag na-subtract ang -3 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$2r^{2}-r=-\left(-3\right)$$

I-subtract ang -3 mula sa 0.

$$2r^{2}-r=3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$\frac{2r^{2}-r}{2}=\frac{3}{2}$$

Kapag na-divide gamit ang 2, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 2.

$$r^{2}-\frac{1}{2}r=\frac{3}{2}$$

I-divide ang -\frac{1}{2}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{1}{4}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{1}{4} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$r^{2}-\frac{1}{2}r+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{1}{4} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$r^{2}-\frac{1}{2}r+\frac{1}{16}=\frac{3}{2}+\frac{1}{16}$$

Idagdag ang \frac{3}{2} sa \frac{1}{16} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$r^{2}-\frac{1}{2}r+\frac{1}{16}=\frac{25}{16}$$

I-factor ang r^{2}-\frac{1}{2}r+\frac{1}{16}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(r-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Pasimplehin.

$$r-\frac{1}{4}=\frac{5}{4} r-\frac{1}{4}=-\frac{5}{4}$$

Idagdag ang \frac{1}{4} sa magkabilang dulo ng equation.

$$r=\frac{3}{2} r=-1$$