Lutasin ang 2k^2+9k=-7

$$2 k ^ { 2 } + 9 k = - 7$$

I-solve ang k

$$k = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$k=-1$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Idagdag ang 7 sa parehong bahagi.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 2k^{2}+ak+bk+7. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, parehong positive ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 14.

$$1,14 2,7$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1+14=15 2+7=9$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 9.

$$a=2 b=7$$

I-rewrite ang 2k^{2}+9k+7 bilang \left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right).

$$\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)$$

I-factor out ang 2k sa unang grupo at ang 7 sa pangalawang grupo.

$$2k\left(k+1\right)+7\left(k+1\right)$$

I-factor out ang common term na k+1 gamit ang distributive property.

$$\left(k+1\right)\left(2k+7\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang k+1=0 at 2k+7=0.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Idagdag ang 7 sa magkabilang dulo ng equation.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

Kapag na-subtract ang -7 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=0$$

I-subtract ang -7 mula sa 0.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 2 para sa a, 9 para sa b, at 7 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

I-square ang 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

I-multiply ang -4 times 2.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

I-multiply ang -8 times 7.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

Idagdag ang 81 sa -56.

$$k=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Kunin ang square root ng 25.

$$k=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

I-multiply ang 2 times 2.

$$k=\frac{-9±5}{4}$$

Ngayon, lutasin ang equation na k=\frac{-9±5}{4} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -9 sa 5.

$$k=-\frac{4}{4}$$

I-divide ang -4 gamit ang 4.

$$k=-1$$

Ngayon, lutasin ang equation na k=\frac{-9±5}{4} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 5 mula sa -9.

$$k=-\frac{14}{4}$$

Bawasan ang fraction \frac{-14}{4} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$k=-\frac{7}{2}$$

Nalutas na ang equation.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$2k^{2}+9k=-7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$\frac{2k^{2}+9k}{2}=-\frac{7}{2}$$

Kapag na-divide gamit ang 2, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 2.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k=-\frac{7}{2}$$

I-divide ang \frac{9}{2}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{9}{4}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{9}{4} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{9}{4} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

Idagdag ang -\frac{7}{2} sa \frac{81}{16} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

I-factor ang k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Pasimplehin.

$$k+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} k+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

I-subtract ang \frac{9}{4} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$