Lutasin ang 2x^2-5x-18=0

$$2 { x }^{ 2 } -5x-18 = 0$$

I-solve ang x

$$x=-2$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 2x^{2}+ax+bx-18. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-5 ab=2\left(-18\right)=-36$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -5.

$$a=-9 b=4$$

I-rewrite ang 2x^{2}-5x-18 bilang \left(2x^{2}-9x\right)+\left(4x-18\right).

$$\left(2x^{2}-9x\right)+\left(4x-18\right)$$

I-factor out ang x sa unang grupo at ang 2 sa pangalawang grupo.

$$x\left(2x-9\right)+2\left(2x-9\right)$$

I-factor out ang common term na 2x-9 gamit ang distributive property.

$$\left(2x-9\right)\left(x+2\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 2x-9=0 at x+2=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$2x^{2}-5x-18=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 2 para sa a, -5 para sa b, at -18 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

I-square ang -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

I-multiply ang -4 times 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

I-multiply ang -8 times -18.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2\times 2}$$

Idagdag ang 25 sa 144.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Kunin ang square root ng 169.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2\times 2}$$

Ang kabaliktaran ng -5 ay 5.

$$x=\frac{5±13}{2\times 2}$$

I-multiply ang 2 times 2.

$$x=\frac{5±13}{4}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{5±13}{4} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 5 sa 13.

$$x=\frac{18}{4}$$

Bawasan ang fraction \frac{18}{4} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x=\frac{9}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{5±13}{4} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 13 mula sa 5.

$$x=-\frac{8}{4}$$

I-divide ang -8 gamit ang 4.

$$x=-2$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{9}{2} x=-2$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-5x-18=0$$

Idagdag ang 18 sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x^{2}-5x-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Kapag na-subtract ang -18 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$2x^{2}-5x=-\left(-18\right)$$

I-subtract ang -18 mula sa 0.

$$2x^{2}-5x=18$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=\frac{18}{2}$$

Kapag na-divide gamit ang 2, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{18}{2}$$

I-divide ang 18 gamit ang 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=9$$

I-divide ang -\frac{5}{2}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{5}{4}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{5}{4} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=9+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{5}{4} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=9+\frac{25}{16}$$

Idagdag ang 9 sa \frac{25}{16}.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{169}{16}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{13}{4}$$

Idagdag ang \frac{5}{4} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{9}{2} x=-2$$