Lutasin ang 2x^2-11x-40=0

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

I-solve ang x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=8$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 2x^{2}+ax+bx-40. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -11.

$$a=-16 b=5$$

I-rewrite ang 2x^{2}-11x-40 bilang \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

I-factor out ang 2x sa unang grupo at ang 5 sa pangalawang grupo.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

I-factor out ang common term na x-8 gamit ang distributive property.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-8=0 at 2x+5=0.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 2 para sa a, -11 para sa b, at -40 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

I-square ang -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

I-multiply ang -4 times 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

I-multiply ang -8 times -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

Idagdag ang 121 sa 320.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Kunin ang square root ng 441.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

Ang kabaliktaran ng -11 ay 11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

I-multiply ang 2 times 2.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{11±21}{4} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 11 sa 21.

$$x=\frac{32}{4}$$

I-divide ang 32 gamit ang 4.

$$x=8$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{11±21}{4} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 21 mula sa 11.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Bawasan ang fraction \frac{-10}{4} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Idagdag ang 40 sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Kapag na-subtract ang -40 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

I-subtract ang -40 mula sa 0.

$$2x^{2}-11x=40$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

Kapag na-divide gamit ang 2, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

I-divide ang 40 gamit ang 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

I-divide ang -\frac{11}{2}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{11}{4}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{11}{4} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{11}{4} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

Idagdag ang 20 sa \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

Idagdag ang \frac{11}{4} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$