Lutasin ang 18x^2-9x-5=0

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

I-solve ang x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 18x^{2}+ax+bx-5. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -9.

$$a=-15 b=6$$

I-rewrite ang 18x^{2}-9x-5 bilang \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right).

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

Ï-factor out ang 3x sa 18x^{2}-15x.

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

I-factor out ang common term na 6x-5 gamit ang distributive property.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 6x-5=0 at 3x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 18 para sa a, -9 para sa b, at -5 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

I-square ang -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

I-multiply ang -4 times 18.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

I-multiply ang -72 times -5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

Idagdag ang 81 sa 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Kunin ang square root ng 441.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

Ang kabaliktaran ng -9 ay 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

I-multiply ang 2 times 18.

$$x=\frac{9±21}{36}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{9±21}{36} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 9 sa 21.

$$x=\frac{30}{36}$$

Bawasan ang fraction \frac{30}{36} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 6.

$$x=\frac{5}{6}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{9±21}{36} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 21 mula sa 9.

$$x=-\frac{12}{36}$$

Bawasan ang fraction \frac{-12}{36} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 12.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Idagdag ang 5 sa magkabilang dulo ng equation.

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Kapag na-subtract ang -5 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

I-subtract ang -5 mula sa 0.

$$18x^{2}-9x=5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 18.

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

Kapag na-divide gamit ang 18, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

Bawasan ang fraction \frac{-9}{18} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 9.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

I-divide ang -\frac{1}{2}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{1}{4}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{1}{4} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{1}{4} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

Idagdag ang \frac{5}{18} sa \frac{1}{16} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

Idagdag ang \frac{1}{4} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$