Lutasin ang 18x^2-27x+4=0

$$18 { x }^{ 2 } -27x+4=0$$

I-solve ang x

$$x=\frac{1}{6}\approx 0.166666667$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 18x^{2}+ax+bx+4. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-27 ab=18\times 4=72$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 72.

$$-1,-72 -2,-36 -3,-24 -4,-18 -6,-12 -8,-9$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-72=-73 -2-36=-38 -3-24=-27 -4-18=-22 -6-12=-18 -8-9=-17$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -27.

$$a=-24 b=-3$$

I-rewrite ang 18x^{2}-27x+4 bilang \left(18x^{2}-24x\right)+\left(-3x+4\right).

$$\left(18x^{2}-24x\right)+\left(-3x+4\right)$$

I-factor out ang 6x sa unang grupo at ang -1 sa pangalawang grupo.

$$6x\left(3x-4\right)-\left(3x-4\right)$$

I-factor out ang common term na 3x-4 gamit ang distributive property.

$$\left(3x-4\right)\left(6x-1\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 3x-4=0 at 6x-1=0.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{6}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$18x^{2}-27x+4=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 18 para sa a, -27 para sa b, at 4 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{\left(-27\right)^{2}-4\times 18\times 4}}{2\times 18}$$

I-square ang -27.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-4\times 18\times 4}}{2\times 18}$$

I-multiply ang -4 times 18.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-72\times 4}}{2\times 18}$$

I-multiply ang -72 times 4.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-288}}{2\times 18}$$

Idagdag ang 729 sa -288.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Kunin ang square root ng 441.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±21}{2\times 18}$$

Ang kabaliktaran ng -27 ay 27.

$$x=\frac{27±21}{2\times 18}$$

I-multiply ang 2 times 18.

$$x=\frac{27±21}{36}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{27±21}{36} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 27 sa 21.

$$x=\frac{48}{36}$$

Bawasan ang fraction \frac{48}{36} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 12.

$$x=\frac{4}{3}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{27±21}{36} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 21 mula sa 27.

$$x=\frac{6}{36}$$

Bawasan ang fraction \frac{6}{36} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 6.

$$x=\frac{1}{6}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{6}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-27x+4=0$$

I-subtract ang 4 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$18x^{2}-27x+4-4=-4$$

Kapag na-subtract ang 4 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$18x^{2}-27x=-4$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 18.

$$\frac{18x^{2}-27x}{18}=-\frac{4}{18}$$

Kapag na-divide gamit ang 18, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{27}{18}\right)x=-\frac{4}{18}$$

Bawasan ang fraction \frac{-27}{18} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 9.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{4}{18}$$

Bawasan ang fraction \frac{-4}{18} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{2}{9}$$

I-divide ang -\frac{3}{2}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{3}{4}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{3}{4} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{3}{4} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{2}{9}+\frac{9}{16}$$

Idagdag ang -\frac{2}{9} sa \frac{9}{16} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{49}{144}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{3}{4}=-\frac{7}{12}$$

Idagdag ang \frac{3}{4} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{6}$$