Lutasin ang 16x-4x^2-7=0

$$16 x - 4 x ^ { 2 } - 7 = 0$$

I-solve ang x

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Isaayos ang polynomial para gawin itong standard form. Pagsunud-sunurin ang mga term mula sa pinakamalaki hanggang pinakamaliit na power.

$$-4x^{2}+16x-7=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang -4x^{2}+ax+bx-7. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=16 ab=-4\left(-7\right)=28$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, parehong positive ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 28.

$$1,28 2,14 4,7$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1+28=29 2+14=16 4+7=11$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 16.

$$a=14 b=2$$

I-rewrite ang -4x^{2}+16x-7 bilang \left(-4x^{2}+14x\right)+\left(2x-7\right).

$$\left(-4x^{2}+14x\right)+\left(2x-7\right)$$

Ï-factor out ang -2x sa -4x^{2}+14x.

$$-2x\left(2x-7\right)+2x-7$$

I-factor out ang common term na 2x-7 gamit ang distributive property.

$$\left(2x-7\right)\left(-2x+1\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 2x-7=0 at -2x+1=0.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$-4x^{2}+16x-7=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang -4 para sa a, 16 para sa b, at -7 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-4\right)\left(-7\right)}}{2\left(-4\right)}$$

I-square ang 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-4\right)\left(-7\right)}}{2\left(-4\right)}$$

I-multiply ang -4 times -4.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+16\left(-7\right)}}{2\left(-4\right)}$$

I-multiply ang 16 times -7.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-112}}{2\left(-4\right)}$$

Idagdag ang 256 sa -112.

$$x=\frac{-16±\sqrt{144}}{2\left(-4\right)}$$

Kunin ang square root ng 144.

$$x=\frac{-16±12}{2\left(-4\right)}$$

I-multiply ang 2 times -4.

$$x=\frac{-16±12}{-8}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-16±12}{-8} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -16 sa 12.

$$x=-\frac{4}{-8}$$

Bawasan ang fraction \frac{-4}{-8} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-16±12}{-8} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 12 mula sa -16.

$$x=-\frac{28}{-8}$$

Bawasan ang fraction \frac{-28}{-8} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$x=\frac{7}{2}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{7}{2}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+16x-7=0$$

Idagdag ang 7 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-4x^{2}+16x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Kapag na-subtract ang -7 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$-4x^{2}+16x=-\left(-7\right)$$

I-subtract ang -7 mula sa 0.

$$-4x^{2}+16x=7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -4.

$$\frac{-4x^{2}+16x}{-4}=\frac{7}{-4}$$

Kapag na-divide gamit ang -4, ma-a-undo ang multiplication gamit ang -4.

$$x^{2}+\frac{16}{-4}x=\frac{7}{-4}$$

I-divide ang 16 gamit ang -4.

$$x^{2}-4x=\frac{7}{-4}$$

I-divide ang 7 gamit ang -4.

$$x^{2}-4x=-\frac{7}{4}$$

I-divide ang -4, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -2. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -2 sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-\frac{7}{4}+\left(-2\right)^{2}$$

I-square ang -2.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{7}{4}+4$$

Idagdag ang -\frac{7}{4} sa 4.

$$x^{2}-4x+4=\frac{9}{4}$$

I-factor ang x^{2}-4x+4. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Pasimplehin.

$$x-2=\frac{3}{2} x-2=-\frac{3}{2}$$

Idagdag ang 2 sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{2}$$