Lutasin ang 15x^2-11x-14

$$15 x ^ { 2 } - 11 x - 14$$

I-factor

$$\left(5x-7\right)\left(3x+2\right)$$

Mga Hakbang ng Solution

I-factor ang expression ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang expression bilang 15x^{2}+ax+bx-14. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-11 ab=15\left(-14\right)=-210$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -11.

$$a=-21 b=10$$

I-rewrite ang 15x^{2}-11x-14 bilang \left(15x^{2}-21x\right)+\left(10x-14\right).

$$\left(15x^{2}-21x\right)+\left(10x-14\right)$$

I-factor out ang 3x sa unang grupo at ang 2 sa pangalawang grupo.

$$3x\left(5x-7\right)+2\left(5x-7\right)$$

I-factor out ang common term na 5x-7 gamit ang distributive property.

$$\left(5x-7\right)\left(3x+2\right)$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Maaaring i-factor ang quadratic polynomial gamit ang transformation na ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kung saan ang x_{1} at x_{2} ay ang mga solution ng quadratic equation na ax^{2}+bx+c=0.

$$15x^{2}-11x-14=0$$

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 15\left(-14\right)}}{2\times 15}$$

I-square ang -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 15\left(-14\right)}}{2\times 15}$$

I-multiply ang -4 times 15.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-60\left(-14\right)}}{2\times 15}$$

I-multiply ang -60 times -14.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+840}}{2\times 15}$$

Idagdag ang 121 sa 840.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{961}}{2\times 15}$$

Kunin ang square root ng 961.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±31}{2\times 15}$$

Ang kabaliktaran ng -11 ay 11.

$$x=\frac{11±31}{2\times 15}$$

I-multiply ang 2 times 15.

$$x=\frac{11±31}{30}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{11±31}{30} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 11 sa 31.

$$x=\frac{42}{30}$$

Bawasan ang fraction \frac{42}{30} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 6.

$$x=\frac{7}{5}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{11±31}{30} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 31 mula sa 11.

$$x=-\frac{20}{30}$$

Bawasan ang fraction \frac{-20}{30} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 10.

$$x=-\frac{2}{3}$$

I-factor ang orihinal na expression gamit ang ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). I-substitute ang \frac{7}{5} sa x_{1} at ang -\frac{2}{3} sa x_{2}.

$$15x^{2}-11x-14=15\left(x-\frac{7}{5}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Pasimplehin ang lahat ng expression ng form na p-\left(-q\right) at gawing p+q.

$$15x^{2}-11x-14=15\left(x-\frac{7}{5}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

I-subtract ang \frac{7}{5} mula sa x sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagsu-subtract sa mga numerator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$15x^{2}-11x-14=15\times \frac{5x-7}{5}\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Idagdag ang \frac{2}{3} sa x sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$15x^{2}-11x-14=15\times \frac{5x-7}{5}\times \frac{3x+2}{3}$$

I-multiply ang \frac{5x-7}{5} times \frac{3x+2}{3} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$15x^{2}-11x-14=15\times \frac{\left(5x-7\right)\left(3x+2\right)}{5\times 3}$$

I-multiply ang 5 times 3.

$$15x^{2}-11x-14=15\times \frac{\left(5x-7\right)\left(3x+2\right)}{15}$$

Kanselahin ang greatest common factor na 15 sa 15 at 15.

$$15x^{2}-11x-14=\left(5x-7\right)\left(3x+2\right)$$

I-evaluate

$$\left(5x-7\right)\left(3x+2\right)$$