Lutasin ang 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

I-solve ang x

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 15x^{2}+ax+bx+2. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, parehong positive ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 11.

$$a=5 b=6$$

I-rewrite ang 15x^{2}+11x+2 bilang \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right).

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

I-factor out ang 5x sa unang grupo at ang 2 sa pangalawang grupo.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

I-factor out ang common term na 3x+1 gamit ang distributive property.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 3x+1=0 at 5x+2=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 15 para sa a, 11 para sa b, at 2 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

I-square ang 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

I-multiply ang -4 times 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

I-multiply ang -60 times 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

Idagdag ang 121 sa -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

Kunin ang square root ng 1.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

I-multiply ang 2 times 15.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-11±1}{30} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -11 sa 1.

$$x=-\frac{10}{30}$$

Bawasan ang fraction \frac{-10}{30} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 10.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-11±1}{30} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 1 mula sa -11.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Bawasan ang fraction \frac{-12}{30} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 6.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

Kapag na-subtract ang 2 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$15x^{2}+11x=-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 15.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

Kapag na-divide gamit ang 15, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 15.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

I-divide ang \frac{11}{15}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{11}{30}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{11}{30} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{11}{30} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

Idagdag ang -\frac{2}{15} sa \frac{121}{900} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

I-factor ang x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

I-subtract ang \frac{11}{30} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$